Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi
P(x)=ni=0aixi polinomumuz olsun. ave b sabitleri icin P(ax+b) polinomunun katsayilarini P(x) yardimi ile kolaycana bulabiliyor muyuz?

Aklima bir tek Taylor acilimi geldi ama o da uzun yani. Belki polinomlardan kurtulup olayi katsayilarin ic carpimina da getirebiliriz. Fakat bu da uzun olur gibi.

Istedigim en kisasi degil de, gercekten basit bir yontemin var olup olmadigini ogrenmek ilk asamada.

Ornegin su soruyu cevaplayabilir miyiz: P(x) olsun yine. Su a,b icin (belirledigimiz bir i var) xi'nin katsayisi sifir olur. (Sonlu cisim, sonsuz cisim, karakteristik vs onemli degil, genel soru).
Serbest kategorisinde (25.5k puan) tarafından  | 1.2k kez görüntülendi

serbest?    

Matris yaklaşımıyla çabucak çözülebilir duruyor. Karaladım birşeyler ama toparlamak lâzım. 

Özet olarak; Pn polinomu, T=αx+β dönüşümüne maruz kalıyor. T'nin {xn,xn1,...,1} bazına göre matris temsîli bulunur ve Pn=(anan1a0)

  vektörüne uygulanır. 

Verilen dönüşüm altında T'nin matris temsîli de hoşmuş bu arada. Toparlarsam, birkaç denemeden sonra, cevâbı yazmayı düşünüyorum.

Bu arada, bazı terimler LaTeX formuna neden dönüşmüyor anlamadım?!

Baz degisim matrisini bulmak gerek herhalde. Sonra da Pn vektoru ile carpmak. Fakat bu da ayni karmasiklikta olmuyor mu? 

@Anil, kategoriyi kestiremedim. Bilen birisi kategoriyi degistirebilir. 
Eğer küçük derecelerde ne olduğunu anlayabilirsek, türev ve tümevarım kullanarak genelleştirebilir miyiz?

@Sercan, T'nin temsîli basit bir formda çıkıyor. Bu yüzden sanırım çok daha kolay. 

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İş uzun gibi, fakat sonuç, rahatlıkla akılda tutulabilir ve pratik hesap yaparken kolaylıkla kullanılabilir. Şimdi,

T bir lineer dönüşüm olsun. Polinomlar üzerinde çalışacağımız için, keyfî bir n için Pn polinomunu ele alalım:

Pn(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0

Matris yaklaşımında Pn matrisi katsayılarıyla aşağıdaki gibi temsîl edilir:

Pn(anan1a1a0)

Pn, (n+1)×1 boyutlu sütun matristir. Sıra, T dönüşümünün temsîline geldi. Bunun için, B bazının herbir elemanının T altında nasıl değiştiğini incelemeliyiz. Yâni, k=0,...,n için

T(xk)=?

Bunun için T'nin belirlenmesi gerekiyor. Eğer soruda verilen 

T=:xαx+β

operatörünü alırsak, Binom açılımı yardımıyla,

T(xk)=(αx+β)k=kq=0(αx)qβkq(kq)

buluruz. Burada, herkesçe bilinen

(kq)=n!k!(nk)!

yazımı kullanılmıştır. Elde ettiğimiz bu ifâde, yine k'yinci dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla T, B'nin boyutunu korumuştur. Dönüşüm sonucunda elde ettiğimiz bu polinomun katsayıları,

αqβkq(kq),

T operatmrünün matris temsîlinin (nk+1)'yinci sütun, (n+1q)'yuncu satır elemanını oluşturacaktır:

Tn+1q,n+1k=Cqk.

Diğer bir deyişle, k'yinci dereceli terimin dönüşümü sonucu oluşan polinoma katkıda bulunan qk dereceli terimin katsayısını verecektir. Sıkça kullanacağımız için yukarıdaki denklemi Cqk kullanımıyla kısalttık. 

Tanımı îtibâriyle T matrisi altüçgen matristir. Gerçekten, q<k dereceli terime q>k dereceli terimler katkı yapmayacaklar. Bu durum, Cqk'nın tanımıyla uyuşmadığı için, tanımı şöyle düzeltebiliriz:

Cqk={αqβkq(kq)qk0q>k

Elde ettiklerimizi şimdi sonuçlandırabiliriz. Şimdi, i=n+1q, j=n+1k kısaltmasıyla, T dönüşümü altında Pn, Pn'e dönüşür; yâni:

(Pn)i=Tij(Pn)j.

Burada P'ler sütun vektör olduklarından tek indis kullandık. 

Sonuç: Eğer n+1 boyutlu polinom vektör uzayındaysak ve eğer bir Pn polinomu verildiyse, o halde αx+β dönüşümü altında, eski ve yeni polinomun katsayıları arasındaki ilişki Denklem (**)'daki gibi olacaktır. 

n=0durumu_

n=0 iken, P0=a0 sâbit teriminden ibâret olacaktır. T'yi türetelim. n=0 olduğundan, diğer tüm indisler <1 değerleri alacaklardır. Bu durumda (*) denklemi

T1q,1k=Cqk,

hâlini alır. Tabî ki k,qn sağlanır. O hâlde, n=k=q=0 eşitliği geçerlidir ve,

T1q,1k=T1,1=C00=1,

bulunur. Yani, beklendiği gibi, sâbit terimde herhangi bir değişim olmamaktadır.

n=1durumu_

Gelelim yine bâriz sayılabilecek bir duruma: n=1. Bu durumda,

T2q,2k=Cqk,

elde edilir. Terimleri k,q=0,1 için açacak olursak,

T2,2=C00=1,T2,1=C01=β,T1,2=C10=0,T1,1=C11=α,}

Böylece, Denklem (**) kullanılarak,

(P1)1=a1=T1,1(P2)1+T1,2P2)2=T1,1a1+T1,2a0=αa1,(P1)2=a0=T2,1(P2)1+T2,2(P2)2=T2,1a1+T2,2a0=βa1+a0}

 

elde edilir ki doğrudan hesaplamayla,

a1x+a0a1(αx+β)+a0=αa1x+(βa1+a0)

olduğu gerçeklenir.

n=2durumu_

Elle hesap işi gittikçe karışacak tabî ki; fakat son örnek de öğretici olacaktır. n=2 iken k,q=0,1,2 değerlerini alacaktır. Yine yukarıdakine benzer şekilde hesaplarsak, T3q,3k=Cqk, ile:

T3,3=C00=1,T3,2=C01=β,T3,1=C02=β2,T2,3=C10=0,T2,2=C11=α,T2,1=C12=2αβ,T1,3=C20=0,T1,2=C21=0,T1,1=C22=α2,}

bulunur. Bu sefer daha az ayrıntıya girerek, yeni katsayılar bulunur:

a2=α2a2,a1=2αβa2+αa1,a0=β2a2+βa1+a0,}

Bunu da elle hesaplarsak kolayca,

a2x2+a1x+a0a2(αx+β)2+a1(αx+β)+a0=α2a2x2+(2αβa2+αa1)x+(β2a2+βa1+a0)}

buluverirdik. İsterseniz n=2 için matrisi açıkça yazalım:

T(α2002αβα0β2β1)

Burada ilgi çekici bir durum var. Dikkat ederseniz bu matrisin sütun elemanları, n=2 için, (α+β)k, k=0,1,2 ifâdelerinin açılımındaki terimlerden oluşmaktadır. Yâni bu dönüşümün matris elemanını oluşturmak için binom açılımı kullanılır ve yeni katsayılar, bu matrisin eski katsayılar vektörüne etki ettirmekle bulunur. 

Belirli bir i teriminin katsayısının 0 olması problemine buradan nasıl yol bulunur bilmiyorum. 

(1.4k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,951 kullanıcı