İş uzun gibi, fakat sonuç, rahatlıkla akılda tutulabilir ve pratik hesap yaparken kolaylıkla kullanılabilir. Şimdi,
T bir lineer dönüşüm olsun. Polinomlar üzerinde çalışacağımız için, keyfî bir n için Pn polinomunu ele alalım:
Pn(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
Matris yaklaşımında Pn matrisi katsayılarıyla aşağıdaki gibi temsîl edilir:
Pn≡(anan−1⋮a1a0)
Pn, (n+1)×1 boyutlu sütun matristir. Sıra, T dönüşümünün temsîline geldi. Bunun için, B bazının herbir elemanının T altında nasıl değiştiğini incelemeliyiz. Yâni, k=0,...,n için
T(xk)=?
Bunun için T'nin belirlenmesi gerekiyor. Eğer soruda verilen
T=:x→αx+β
operatörünü alırsak, Binom açılımı yardımıyla,
T(xk)=(αx+β)k=k∑q=0(αx)qβk−q(kq)
buluruz. Burada, herkesçe bilinen
(kq)=n!k!(n−k)!
yazımı kullanılmıştır. Elde ettiğimiz bu ifâde, yine
k'yinci dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla
T,
B'nin boyutunu korumuştur. Dönüşüm sonucunda elde ettiğimiz bu polinomun katsayıları,
αqβk−q(kq),
T operatmrünün matris temsîlinin (n−k+1)'yinci sütun, (n+1−q)'yuncu satır elemanını oluşturacaktır:
Tn+1−q,n+1−k=Cqk.
Diğer bir deyişle, k'yinci dereceli terimin dönüşümü sonucu oluşan polinoma katkıda bulunan q≤k dereceli terimin katsayısını verecektir. Sıkça kullanacağımız için yukarıdaki denklemi Cqk kullanımıyla kısalttık.
Tanımı îtibâriyle T matrisi altüçgen matristir. Gerçekten, q<k dereceli terime q>k dereceli terimler katkı yapmayacaklar. Bu durum, Cqk'nın tanımıyla uyuşmadığı için, tanımı şöyle düzeltebiliriz:
Cqk={αqβk−q(kq)q≤k0q>k
Elde ettiklerimizi şimdi sonuçlandırabiliriz. Şimdi, i=n+1−q, j=n+1−k kısaltmasıyla, T dönüşümü altında Pn, P′n'e dönüşür; yâni:
(P′n)i=Tij(Pn)j.
Burada P'ler sütun vektör olduklarından tek indis kullandık.
Sonuç: Eğer n+1 boyutlu polinom vektör uzayındaysak ve eğer bir Pn polinomu verildiyse, o halde αx+β dönüşümü altında, eski ve yeni polinomun katsayıları arasındaki ilişki Denklem (**)'daki gibi olacaktır.
n=0durumu_
n=0 iken, P0=a0 sâbit teriminden ibâret olacaktır. T'yi türetelim. n=0 olduğundan, diğer tüm indisler <1 değerleri alacaklardır. Bu durumda (*) denklemi
T1−q,1−k=Cqk,
hâlini alır. Tabî ki k,q≤n sağlanır. O hâlde, n=k=q=0 eşitliği geçerlidir ve,
T1−q,1−k=T1,1=C00=1,
bulunur. Yani, beklendiği gibi, sâbit terimde herhangi bir değişim olmamaktadır.
n=1durumu_
Gelelim yine bâriz sayılabilecek bir duruma: n=1. Bu durumda,
T2−q,2−k=Cqk,
elde edilir. Terimleri k,q=0,1 için açacak olursak,
T2,2=C00=1,T2,1=C01=β,T1,2=C10=0,T1,1=C11=α,}
Böylece, Denklem (**) kullanılarak,
(P′1)1=a′1=T1,1(P2)1+T1,2P2)2=T1,1a1+T1,2a0=αa1,(P′1)2=a′0=T2,1(P2)1+T2,2(P2)2=T2,1a1+T2,2a0=βa1+a0}
elde edilir ki doğrudan hesaplamayla,
a1x+a0→a1(αx+β)+a0=αa1x+(βa1+a0)
olduğu gerçeklenir.
n=2durumu_
Elle hesap işi gittikçe karışacak tabî ki; fakat son örnek de öğretici olacaktır. n=2 iken k,q=0,1,2 değerlerini alacaktır. Yine yukarıdakine benzer şekilde hesaplarsak, T3−q,3−k=Cqk, ile:
T3,3=C00=1,T3,2=C01=β,T3,1=C02=β2,T2,3=C10=0,T2,2=C11=α,T2,1=C12=2αβ,T1,3=C20=0,T1,2=C21=0,T1,1=C22=α2,}
bulunur. Bu sefer daha az ayrıntıya girerek, yeni katsayılar bulunur:
a′2=α2a2,a′1=2αβa2+αa1,a′0=β2a2+βa1+a0,}
Bunu da elle hesaplarsak kolayca,
a2x2+a1x+a0→a2(αx+β)2+a1(αx+β)+a0=α2a2x2+(2αβa2+αa1)x+(β2a2+βa1+a0)}
buluverirdik. İsterseniz n=2 için matrisi açıkça yazalım:
T≡(α2002αβα0β2β1)
Burada ilgi çekici bir durum var. Dikkat ederseniz bu matrisin sütun elemanları, n=2 için, (α+β)k, k=0,1,2 ifâdelerinin açılımındaki terimlerden oluşmaktadır. Yâni bu dönüşümün matris elemanını oluşturmak için binom açılımı kullanılır ve yeni katsayılar, bu matrisin eski katsayılar vektörüne etki ettirmekle bulunur.
Belirli bir i teriminin katsayısının 0 olması problemine buradan nasıl yol bulunur bilmiyorum.