Kümeler arası eşleme yaparken, boyut hangi şartlarda korunur? $\mathbb R^n\longmapsto \mathbb R$

Question

Aşağıda bazı eşlemeler var bunlar genel bilindik eşlemeler

$$\mathbb N\to \mathbb Q\tag1$$veya

$$\mathbb (0,1]\to (0,1)\quad\text{için}\\\;\\y=f(x):=\begin{cases}\dfrac{3}{2}-x\quad \Leftarrow \quad \dfrac{1}{2}<x\le 1 \\ \dfrac{3}{4}-x\quad \Leftarrow \quad \dfrac{1}{4}<x\le \dfrac12 \\ \dfrac{3}{8}-x\quad \Leftarrow \quad \dfrac{1}{8}<x\le  \dfrac14\\ \quad\vdots    \end{cases}\tag2$$

Karmaşık sayılar için; 

$\mathbb R\times \mathbb R\to \mathbb C\quad\text{için}\\(x,y)\longmapsto x+iy \tag3$


Artık sorumu sorabılırım, $(2)$ de gördügünüz üzere $\mathbb R$'nin altkümelerini eşledım yani $\mathbb R^2$ ile $\mathbb R$ arasında. Peki $f$ fonksiyonunun $\mathbb R$ ile $\mathbb {R^n}$ eşlemesinde boyut nasıl korunur?

Comments

Ben tam anlayamadım bu iki küme arasında birebir örten ilişki mi tanımlanmasını soruyorsunuz

---

"preserved by bijective maps" diye geçiyor, fizikle ilgisi olabilir diye sorayım dedim, çok hoş duruyordu ve tam olarak ben de onu soruyorum bu korunma dedıklerı şey tamamen ne demek? Nasıl korunuyor? Eşleme yapılınca boyutlar eriyip sadece eşlenme fonksiyonu mu kalıyor veya elde edilen fonksiyon işlemleri...

http://www.math.lmu.de/~petrakis/Master%20Thesis.pdf

---

Kısaca şöyle anlatim: eğer kümeler teorisi ile ilgili bir problem ile uğraşıyorsanız sizin uğraştığınız şeyler kümelerdir ve iki küme arasında 1-1 örten fonksiyon bulabiliyorsanız bu iki küme sizin için aynıdır. Örneğin {1,2,3} kümesi ile {a b c} kümesi birbirinin aynısı olur. Eğer topoloji ile uğraşıyorsanız sizin uğraştığınız temel şeyler topolojik uzaylardır ve iki topolojik uzaya birbirinin aynı gözü ile bakılabilir eğer aralarında 1-1 örten kendisi ve tersi sürekli (buna honomorfizna denir) olan bir fonksiyon varsa. Örneğin, Reel sayılar ve metrik topoloji ile (-pi,pi) ve metrik topoloji arasında böyle bir ikili vardır (arctan x fonksiyonu) ve bu iki topolojik uzay aynıdır. Örnekler çoğaltılabilir: Diferansiyel Geometri-manifoldlar-difeomorfizma, Riemannian Geometri-Riemannian manifoldlar-Açı koruyan difeomorfizma, Grup teorisi-grup-grup homomorfiMası (...) Sizin sorunuzun cevabına gelince R ve R^n arasında 1-1 örten ilişki vardır ama (standart topoloji) homeomorfizma yoktur. Bu da demek oluyor ki, eğer kümeler teorisi ile uğraşansanız bu ikisi aynı kümelerdir ama topoloji ile uğraşıyorsanız değillerdir.

---

Homomorfizma degil de homeomorfizma demek istiyorsunuz sanirim.

---

Verdiğim yanlış bilgi:

Alper hocam, $2$ kelime de eş anlamlı sanırım, Ali Nesin de bir yerde bahsediyordu sanırım bunların aynı anlamlı olduğundan, sanırım Türkçeye geçerkenki durumlar.

Düzeltiyorum:

https://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism

https://en.wikipedia.org/wiki/Homomorphism

Hatta üstte uyarı yazmışlar:

Homeomorphism sayfasında:

"Not to be confused with homomorphism.

For homeomorphisms in graph theory, see homeomorphism (graph theory).

Homomorphism sayfasında:

"Not to be confused with holomorphism or homeomorphism."

---

Homo- prefixi "same" manasına geliyor homeo- ise "similar".

---

Bu linkteki soruya verilen cevaptan hareketle soruna bir yaklaşımda bulunabilirsin.