Question

Bir günde akrep ile yelkovan kaç kez üst üste gelir?

Comments

24 değil mi?

---

Akrep her dakikada $0.5^{\circ}$ derece yol alır.

Yelkovan ise her dakikada $6^{\circ}$ yol alır.

...

60 dakika sonra, akrep $30^{\circ}$ konumunda bulunur, yelkovan ise $0^{\circ}$ konumunda bulunur.

...

Sanırım 24 olmaz.

---

1-  00:00

2-  01:05

3-  02:10

...

12-11:55

13-12:00

...

24-23:55

böyle sayınca 24 defâ çıkıyor.

---

2-  01:05

3-  02:10

...

12-11:55

...

24-23:55

bunların hiç birinde üst üste değildir.

---

Haklısınız! Yanılmışım. Çözüm şöyle olmalı: 

Yelkovanın açısal hızı: $\pi/30\, \mbox{rad/dk}$

Akrebin açısal hızı: $\pi/360\, \mbox{rad/dk}$

Şimdi, $x$ dakika sonra, akrep ve yelkovan arasındaki fark $2\pi$'nin tam katı olmalı ki üstüste gelsinler.  O halde, $$\frac{11\pi}{360}x=2\pi y, \hspace{10px} x\in \mathbb R, y\in \mathbb N$$ denklemi elde edilir. Buradan, $$x=\frac{720}{11}y$$ alınır. $\frac{720}{11}=65,454545\dots$ eder. Demek ki $65,45$ küsur dakikada bir arkadaşlar üstüste gelecekler. 

Bir gün $24\times 60=1140$ dakikadır. O halde, üstüste gelme sayıları: $$\left[\frac{1440}{65,4545\dots}\right]=22$$ bulunur. ($[x]$ $x$'in tamkısmıdır.) 

Answer 1

Bir günde akrep ile yelkovan $22$ kez üst üste gelir.

Answer 2

Yukarıda Yiğit Hocamın açıklamalarından dolayı; akreple yelkovan arasındaki açının 

I5,5. dakika-30.saatI 

bu şekilde bulunacağı anlaşılır.

Dikkat edilirse saat 11:60 olduğunda aradaki açı sıfır olur. 

11:60' ta zaten 12:00 demektir.

Yani saat 11 ile 12 arasında hiç üst üste gelmez.

Bir gün 24 saat olduğundan bu durum iki kere gerçekleşir yani günde 22 kez üst üste gelirler...

Answer 3

Yukarıdaki ilk yorumumda yanılmışım. Arkadaşlar cevabını verdiler ama açık çözümü vermek isterim: 

Yelkovanın açısal hızı: $\pi/30\, \mbox{rad/dk}$

Akrebin açısal hızı: $\pi/360\, \mbox{rad/dk}$

Şimdi, $x$ dakika sonra, akrep ve yelkovan arasındaki fark $2\pi$'nin tam katı olmalı ki üstüste gelsinler.  O halde, $$\frac{11\pi}{360}x=2\pi y, \hspace{10px} x\in \mathbb R, y\in \mathbb N$$ denklemi elde edilir. Buradan, $$x=\frac{720}{11}y$$ alınır. $\frac{720}{11}=65,454545\dots$ eder. Demek ki $65,45$ küsur dakikada bir arkadaşlar üstüste gelecekler. 

Bir gün $24\times 60=1140$ dakikadır. O halde, üstüste gelme sayıları: $$\left[\frac{1440}{65,4545\dots}\right]=22$$ bulunur. ($[x]$ $x$'in tamkısmıdır.)