Süreklilik ve integral ile ilgili bir soru.

Question

$f:[a,b]$ sürekli olsun . Eğer $\alpha \neq \beta$ yı 

$\alpha \int_{a}^{c}f(x)dx+\beta \int_{c}^{b}f(x)dx=0$

sağlayan ; $\forall$ $c\in [a,b]$ varsa $f$ $[a,b]$ üzerinde $f=0$ oldugunu ispatlayalım .

soru hakkında fikir verebilecek veya çözüm için yardımcı olurmusunuz.

Düzenleme:

$\forall$$c\in [a,b]$ icin $$\alpha \int_a^cf(x)dx+\beta\int_c^bf(x)dx=0$$ kosulunu saglayan $\alpha\ne \beta$ gercel sayilari varsa $f=0$'dır.

Comments

Demek istedigin soyle mi: (ust cumle bana devrik geldi de biraz)

Her $c\in [a,b]$ icin $$\alpha \int_a^cf(x)dx+\beta\int_c^bf(x)dx=0$$ kosulunu saglayan $\alpha\ne \beta$ gercel sayilari varsa $f=0$dir. ($[a,b]$ uzerinde).

---

Tam olarak bunu diyorum . Teşekkürler.

---

$f(x)=1$ olsun. $c\ne a, b$ icin $$\alpha=\frac{1}{c-a} \;\;\; \text{ ve }\;\;\; \beta=\frac{1}{c-b}$$ olarak secelim. $c=a$ icin $(1,0)$ ve $c=b$ icin $(0,1)$ seceriz.

---

$\int_a^b f(x)dx=0$ ek kosulu ile $f=0$ olur.