$x^3-px^2+qx-r=0$ denkleminin üç kökü de pozitif ise , köklerin terslerinin toplamı, en çok $\frac{p^2}{3r}$ olacağını ispatlayınız.

Question

4 puanlık B.4851.sorusunun İngilizce'den Türkçe'ye  çevirisi: 

$x^3-px^2+qx-r=0$  denkleminin üç kökü de pozitif ise ,

 köklerin terslerinin toplamı, en çok  $\frac{p^2}{3r}$ olacağını  ispatlayınız.

(Anladığım kadarıyla)  $x_1>0,x_2>0, x_3>0$  ise 

$\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \le  \frac{p^2}{3r}$  

olduğunun ispatlanması  isteniyor.

https://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201702&t=mat&l=en

İngilizcesi yetersiz olanlar için  belirtmeleri halinde  bu linkteki  soruları Türkçe'ye çevirebilirim.

Comments

Güzel olur.Hem de son günlerde yaşadığımız soru kıtlığı çözülmüş olur.

---

Merhabalar   @KubilayK, 

4 puanlık B.4851.sorusunun İngilizce'den Türkçe'ye  çevirisi: 

$x^3-px^2+qx-r=0$  denkleminin üç kökü de pozitif ise ,

 köklerin terslerinin toplamı, en çok  $\frac{p^2}{3r}$ olacağını  ispatlayınız.

(Anladığım kadarıyla)  $x_1>0,x_2>0, x_3>0$  ise 

$\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \le  \frac{p^2}{3r}$  

olduğunun ispatlanması  isteniyor.

---

Sorunun amacı ne anlamadım? Başlık ve kategorıyı duzeltınız.

---

@suitable, eger oradakilerin hepsini Turkceye cevirip icerikte paylasirsan bence guzel olabilir. (Fikir olarak).

Fakat bu tarz sorulari kotuye kullanima izin vermemek amacli, iyi secip, oyle paylasirsak guzel olur. Hem ogrenciler Turkcelerini gormus olur.

Burada sorular tartisilip, takilmis olduklarimiz ek soru olarak sorulabilir. 

---

Anıl Beyin isteği üzerine başlık ve kategoriyi düzenledim. 

Soruları toptan çevirmek yerine istekler doğrultusunda tek tek çevirmeyi düşünmüştüm. 

---

Fikirdi sadece benimkisi... 

---

Sayın Sercan Bey, ilginiz için teşekkür ederim.

---

Kim hayır diyebilirkiiiiii ^^

---

Üçüncü dereceden denklemin kökleriyle katsayıları arasındaki bağıntılar burada:

https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%9C%C3%A7%C3%BCnc%C3%BC_dereceden_denklemler

Yani bence  $3q \le p^2$ olduğunun gösterilmesi gerekir.

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF_eskisayilar/1994_3_9_13_CEBIRSEL.pdf

Answer 1

B4851

$\dfrac {1} {x_{1}}+\dfrac {1} {x_{2}}+\dfrac {1} {x_{3}}\leq \dfrac {p^{2}} {3r}$

olduğu gösterilmesi isteniyor. Burada payda eşitlenir ve Vieta formülleri uygulanırsa

$p^2 \geq 3q$  elde edilir. Bunu ispatlamamız yeterli.

                                                           $f(x) = x^3 - px^2 + qx - r =0$

denkleminin üç kökünün de reel olduğunu biliyoruz. O halde bu denklemin türevini alırsak

                                                          $f'(x) = 3x^2 - 2px + q = 0$

olur. Türevin kökü yoksa, $f(x)$  daima artan olacağından sadece 1 reel kökü olur. O halde  üç reel kök olması için türevin kökü olmalıdır. Yani $\Delta \geq 0$  olmalıdır.

                                                                  $4p^2 - 12q \geq  0$

                                                                      $p^2 \geq 3q$

Answer 2

Harmonik orta geometrik orta ve aritmetik orta eşitsizliğini kullanmak yeterlidir .

$H.Orta\le G.Orta\le A.Orta$ 

$\dfrac{3}{H.O}=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}$

$H.O=\dfrac{3}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}} \le\sqrt[3]{x_1.x_2.x_3}\le\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}$

$x_1.x_2.x_3=r$   

$x_1+x_2+x_3=\dfrac{p}{3}$  yazarsak sonuca ulaşılır.

kolay gelsin