Bir vektör uzayı örneği

Question

$L\supseteq K$ bir cisim olsun öyle ki işemler $K$, $L$'de kısıtlanışı olsun ("such that the operations on K are a restriction of the operations on L). O zaman $L$, $K$ üzerine bir vektör uzayıdır.

•  'işemler $K$, $L$'de kısıtlanışı olsun'da ne demek istiyor?
  
•  $L$ nasıl $K$ üzerine bir vektör uzayı oldu, açıklayabilir misiniz?
  
• Neden $K$ , $L$ üzerine bir vektör uzayı olmadı?

Comments

$A\subset B$ ise ve $f$, $B$ üzerinde tanımlı bir fonksiyon ise $f$'nin $A$'ya kısıtlamasından sözedebiliriz. Tıpkı bunun gibi, toplama $L\times L$ üzerine tanımlı bir işlem. $K\times K$ de $L\times L$ kümesinin bir altkümesi olduğu için toplama fonksiyonunu $K\times K$'ye kısıtlayabiliriz.

---

Reel sayılar üzerine karmaşık sayıları düşün. Her karmaşık sayıyı $a, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a + bi$ şeklinde yazabilirsin. Reel sayıları da karmaşık sayıların $\{a + bi \in \mathbb{C} : b=0\}$ altkümesi ile esleyebilirsin. Bu altkümedeki elemanları karmaşık sayılar gibi toplayacaksın ve çarpacaksin, onu demek istemiş. Ama zaten dikkat edersen normal reel sayı çarpması bu.

Yine aynı örnek üzerinden gidecek olursak, karmaşık sayılar abelyen bir grup oluşturuyor. Üstüne üstlük bir $a = a+ 0.i$ reel sayısıyla bir $c + di$ sayısını çarparsan $ac + adi$ sayısını elde ediyorsun. Bu da skaler çarpmayı tanımlıyor, vektör uzayı aksiyomlarinin kontrol edilmesi çok kolay. Dene.

Reel sayılar karmaşık sayılar üzerine vektör uzayı değiller çünkü bir reel sayı alıp $i$ skaleri ile çarptığında yine bir reel sayı elde etmiş olmuyorsun eğer aldığın reel sayı sıfır değilse. Yani skaler çarpma altında kapalı değilsin. Dolayısıyla vektör uzayı olamazsın.

---

Teşekkürler.