2.Derece denklem Sorusu

Question

$x^2+2x.sin(x)-3.cos(x)=0$ denkleminin 2 gerçek kökü olduğunu ispatlayınız?

Not:Denklemi toparlamak için biraz uğraştım daha sonra grafikler çizdim.İki noktada kesiştiğini ispatlamaya çalıştım.Fakat grafikleri çizmek için denklem yeterince düzenleyemedim.Grafikleri biraz varsayımla çizebiliyorum.

Comments

$(0,\frac\pi2)$ aralığında en az bir çözümü olduğu ara değer teoremi ile görülür.

 Çözüm 0 olmadığı ve fonksiyon çift olduğu için bulunan kökün (toplamaya göre) tersi de bir çözümdür.

---

Hocam en az iki kök mü? yalnız iki kök mü? Bundan nasıl emin olacağız?

Answer 1

$x>0$ için $f(x)=x^2+2x\sin x-3\cos x=x(x+2\sin x)-3\cos x\geq x(x-2)-3=(x-3)(x+1)$ olduğu için,

$x>3$ için, dolayısıyla $x\geq\pi$ için,  $f(x)>0$ olur.

$(0,\pi)$ aralığında $f'(x)=2x(1+\cos x)+5\sin x>0$ olduğu için $(0,\pi)$ aralığında en çok bir çözüm vardır. (Ara Değer Teoremi ile) Kolayca gösterildiği gibi $(0,\pi)$ aralığında en az bir çözüm vardır.

Bunlar bir araya getirildiğinde  $(0,+\infty)$ aralığında tek bir çözüm vardır.

$f(x)$ çift fonksiyon olduğu için $(-\infty,0)$ aralığında da tek bir çözüm vardır. 

0 bir çözüm olmadığında göre, denklemin tam 2 gerçel çözümünün varlığı gösterilmiş oldu.

(Not: bu denkleme 2. derece demesek daha iyi olur. Çünki (sol tarafdaki) fonksiyon bir polinom değil)