Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
7.3k kez görüntülendi

Bir parçacığı $A$ noktasından $B$ noktasına götürebilmek için yapılması gereken $W(A\to B)$ işinin büyüklüğü, parçacığın izlediği yoldan bağımsız ise, parçacığı hareket ettiren kuvvetin korunumlu olduğunu tanımlarız.

Korunumlu kuvvetlerin kapalı bir yol boyunca yaptıkları iş $0$ dır.
 
Soru 1: Merkezcil bir kuvvet korunumlu bir özelliğe sahip midir? İşin genel tanımı nedir?

Soru 2: Kuvvetin, potansiyel enerjinin uzay koordinatlarına göre değişim oranı olduğunu gösterin.

Soru 3: Çekim potansiyel enerjisi neden negativdir?

Soru 4,6,7: Yerçekimi kuvveti, elektrik kuvveti, sürtünme kuvvetini bu konu bağlamında münakaşa ediniz.




İş-Enerji hakkında: http://matkafasi.com/102898

Lisans Teorik Fizik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 7.3k kez görüntülendi

4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Cevap 1:

İş'in tanımnı yaparken dikkate aldığımız $\overrightarrow Fd\overrightarrow r$ büyüklüğünün yola bağımlı olmadığını varsayarsak;


$$\displaystyle\oint \overrightarrow Fd\overrightarrow r=\underbrace{\int_A^B\overrightarrow Fd\overrightarrow r}_{1.\; yol}+\underbrace{\int_B^A\overrightarrow Fd\overrightarrow r}_{2.\; yol}=0$$


Burada $\oint$ integrali, kapalı bir yol boyunca göz önüne alındığını gösterir.Dolayısıyla, $A$'dan $B$ ye bir yolla gidip dönüşte farklı bir yolun da kullanılmış olacağı da dikkate alınır.

$$\color{red}{\text{Merkezcil bir kuvvet korunumlu bir özelliğe sahip midir?}}$$

image 

Yukarıdaki şekil merkezcil bir $F$ kuvvetin etkisindeki durumu gösteriyor.Yarıçaplara dikkat edilirse, merkez nokta olan $O$ noktasından aynı uzaklıktaki parçalara etkiyen kuvvetler aynı olacaktır.Dolayısıyla kuvvetler üzerine $dr$'lerin izdüşümleri de aynı olucaktır.$$\overrightarrow Fd\overrightarrow r=F.dr.cos\theta_i$$
Bu bilgiler ışığında;

$$\boxed{\boxed{\underbrace{\displaystyle\int_A^B\overrightarrow {F_1}d\overrightarrow {r_1}}_{1.\; yol}+\underbrace{\int_A^B\overrightarrow {F_2}d\overrightarrow {r_2}}_{2.\; yol}=\displaystyle\int_A^B\overrightarrow Fd\overrightarrow r}}$$

Bulunur demekki varsayımımız olan "merkezcil kuvvet korunumludur" ilkesi doğru imiş.

Dolayısıyla en genel hali ile yapılan işin büyüklüğü:

$$\color{green}{\boxed{W(A\to B)=\displaystyle\int_A^B\overrightarrow Fd\overrightarrow r}}$$

ile verilir.

(7.8k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Korunumlu kuvvetler için örnek:

image

Tanımı kullanırsak direkt olarak;

$W(A\to B)=\displaystyle\int_A^B(-Mg\overline y)dy\;\overline y=Mg(B-A)=Mgh$

Veya ispatlarsak;

$W(A\to D\to C\to B)=\underbrace{\displaystyle\int_A^D(-Mg\overline y)dx\;\overline x}_0+\displaystyle\int_D^C(-Mg\overline y)dy\;\overline y+\underbrace{\displaystyle\int_C^B(-Mg\overline y)dx\;\overline x}_0=Mgh$
(7.8k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Cevap 2:

Potansiyel enerjiyi gözönüne alalım.Korunumlu kuvvetlerin özellikleri, potansiyel enerjinin yalnız korunumlu kuvvetler için tanımlanabileceği gerçeğini ortaya koyar.Potansiyel enerjinin nasıl bulunduğunu hatırlarsak; önce bir sıfır noktası seçiyor ve sonra da cismi bu noktadan diğer bir noktaya kinetik enerjisini değiştirmeden hareket ettiriyorduk.Bu şekilde yapılan iş, potansiyel enerjideki değişime eşit oluyordu.Böyle bir problemde kuvvetlerin büyüklüklerini biliyorsak, potansiyel enerjiyi kolayca bulabiliyorduk;

$U(A)=0$ ise, etkin kuvvet $F$ kuvvetine eşit ve zıt yönlü olduğundan,

$$\displaystyle\int_A^r F.dr=\int_A^r F_{et}.dr=U(A)-U(r)\tag1$$
Potansiyel enerjiyi biliyorsak, tek boyutta kuvveti de bulabiliriz,
$$U(x)-U(A)=\int_A^x F.dr\tag2$$

$(2)$'nin türevini alırsak;

$$\dfrac{dU}{dx}=-F\tag3$$

buluruz ve bu özdeşliği $(2)$'de yerine koyarsak;

$$-\int_A^xFdx=\int_A^x \dfrac{dU}{dx}dx=\int_A^xdU=U(x)-U(A)\tag4$$

Bu sonucun anlamı şudur;

Potansiyel enerjinin uzay koordinatlarına göre değişiminin oranı, kuvveti verir.

(7.8k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Cevap 3(Çekim alanlarında potansiyel enerji ve enerjinin korunumu):

Newton'un evrensel çekim yasalarında kuvvet korunumlu özelliğe sahiptir.(Aksiyom)
Birbirini çeken kütlelerin $m_1$  ve  $m_2$  olduklarını ve birbirlerinden $r_A$ kadar uzaklıkta bulunduklarını varsayarak, uzaklığı $r$'ye kadar değiştirmek için yapılan işi kolayca bulabiliriz.$m_1$ kütlesinin sabit olduğunu düşünelim,

$r$: $m_1$'den $m_2$'ye giden vektör olsun.

image
 

Şekilde görüldüğü üzre, $m_2$'yi $r+dr$ uzaklığa götürürsek;

$$dW=F_{et}dr=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}dr$$
 
işi yapılmış olur.Toplam işi bulmak için ise;

$$W=\displaystyle\int_{r_A}^r\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}dr=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}\Big|_{r_A}^r$$$$=$$$$-\dfrac{Gm_1m_2}{r}+\dfrac{Gm_1m_2}{r_{A}}$$

$r_{A}\to \infty$ alırsak

Cisimler arası sonsuz uzaklıktan birbirine $r$ uzaklığa getirilme enerjisini buluruz;


$$W=\displaystyle\int_{\infty}^r\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}dr=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}\Big|_{\infty}^r$$$$=$$$$E_p(r)=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}$$

Böylece çekim potansiyel enerjisi her zaman negativ olduğu görülür.Bu, kütleleri sonsuz uzaklıktan alıp, bir araya getirdiğimizde sistemden iş alınması demektir.

https://tr.wikipedia.org/wiki/%C4%B0%C5%9F_(fizik)




(7.8k puan) tarafından 
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,964 kullanıcı