Korunumlu kuvvetler nedir?

Question

Bir parçacığı $A$ noktasından $B$ noktasına götürebilmek için yapılması gereken $W(A\to B)$ işinin büyüklüğü, parçacığın izlediği yoldan bağımsız ise, parçacığı hareket ettiren kuvvetin korunumlu olduğunu tanımlarız.

Korunumlu kuvvetlerin kapalı bir yol boyunca yaptıkları iş $0$ dır.
 
Soru 1: Merkezcil bir kuvvet korunumlu bir özelliğe sahip midir? İşin genel tanımı nedir?

Soru 2: Kuvvetin, potansiyel enerjinin uzay koordinatlarına göre değişim oranı olduğunu gösterin.

Soru 3: Çekim potansiyel enerjisi neden negativdir?

Soru 4,6,7: Yerçekimi kuvveti, elektrik kuvveti, sürtünme kuvvetini bu konu bağlamında münakaşa ediniz.




İş-Enerji hakkında: http://matkafasi.com/102898

Answer 1

Cevap 1:

İş'in tanımnı yaparken dikkate aldığımız $\overrightarrow Fd\overrightarrow r$ büyüklüğünün yola bağımlı olmadığını varsayarsak;

$$\displaystyle\oint \overrightarrow Fd\overrightarrow r=\underbrace{\int_A^B\overrightarrow Fd\overrightarrow r}_{1.\; yol}+\underbrace{\int_B^A\overrightarrow Fd\overrightarrow r}_{2.\; yol}=0$$

Burada $\oint$ integrali, kapalı bir yol boyunca göz önüne alındığını gösterir.Dolayısıyla, $A$'dan $B$ ye bir yolla gidip dönüşte farklı bir yolun da kullanılmış olacağı da dikkate alınır.

$$\color{red}{\text{Merkezcil bir kuvvet korunumlu bir özelliğe sahip midir?}}$$

 

Yukarıdaki şekil merkezcil bir $F$ kuvvetin etkisindeki durumu gösteriyor.Yarıçaplara dikkat edilirse, merkez nokta olan $O$ noktasından aynı uzaklıktaki parçalara etkiyen kuvvetler aynı olacaktır.Dolayısıyla kuvvetler üzerine $dr$'lerin izdüşümleri de aynı olucaktır. $$\overrightarrow Fd\overrightarrow r=F.dr.cos\theta_i$$
Bu bilgiler ışığında;

$$\boxed{\boxed{\underbrace{\displaystyle\int_A^B\overrightarrow {F_1}d\overrightarrow {r_1}}_{1.\; yol}+\underbrace{\int_A^B\overrightarrow {F_2}d\overrightarrow {r_2}}_{2.\; yol}=\displaystyle\int_A^B\overrightarrow Fd\overrightarrow r}}$$

Bulunur demekki varsayımımız olan "merkezcil kuvvet korunumludur" ilkesi doğru imiş.

Dolayısıyla en genel hali ile yapılan işin büyüklüğü:

$$\color{green}{\boxed{W(A\to B)=\displaystyle\int_A^B\overrightarrow Fd\overrightarrow r}}$$

ile verilir.

Answer 2

Korunumlu kuvvetler için örnek:



Tanımı kullanırsak direkt olarak;

$W(A\to B)=\displaystyle\int_A^B(-Mg\overline y)dy\;\overline y=Mg(B-A)=Mgh$

Veya ispatlarsak;

$W(A\to D\to C\to B)=\underbrace{\displaystyle\int_A^D(-Mg\overline y)dx\;\overline x}_0+\displaystyle\int_D^C(-Mg\overline y)dy\;\overline y+\underbrace{\displaystyle\int_C^B(-Mg\overline y)dx\;\overline x}_0=Mgh$

Answer 3

Cevap 2:

Potansiyel enerjiyi gözönüne alalım.Korunumlu kuvvetlerin özellikleri, potansiyel enerjinin yalnız korunumlu kuvvetler için tanımlanabileceği gerçeğini ortaya koyar.Potansiyel enerjinin nasıl bulunduğunu hatırlarsak; önce bir sıfır noktası seçiyor ve sonra da cismi bu noktadan diğer bir noktaya kinetik enerjisini değiştirmeden hareket ettiriyorduk.Bu şekilde yapılan iş, potansiyel enerjideki değişime eşit oluyordu.Böyle bir problemde kuvvetlerin büyüklüklerini biliyorsak, potansiyel enerjiyi kolayca bulabiliyorduk;

$U(A)=0$ ise, etkin kuvvet $F$ kuvvetine eşit ve zıt yönlü olduğundan,

$$\displaystyle\int_A^r F.dr=\int_A^r F_{et}.dr=U(A)-U(r)\tag1$$
Potansiyel enerjiyi biliyorsak, tek boyutta kuvveti de bulabiliriz,
$$U(x)-U(A)=\int_A^x F.dr\tag2$$

$(2)$'nin türevini alırsak;

$$\dfrac{dU}{dx}=-F\tag3$$

buluruz ve bu özdeşliği $(2)$'de yerine koyarsak;

$$-\int_A^xFdx=\int_A^x \dfrac{dU}{dx}dx=\int_A^xdU=U(x)-U(A)\tag4$$

Bu sonucun anlamı şudur;

Potansiyel enerjinin uzay koordinatlarına göre değişiminin oranı, kuvveti verir.

Answer 4

Cevap 3(Çekim alanlarında potansiyel enerji ve enerjinin korunumu):

Newton'un evrensel çekim yasalarında kuvvet korunumlu özelliğe sahiptir.(Aksiyom)
Birbirini çeken kütlelerin $m_1$  ve  $m_2$  olduklarını ve birbirlerinden $r_A$ kadar uzaklıkta bulunduklarını varsayarak, uzaklığı $r$'ye kadar değiştirmek için yapılan işi kolayca bulabiliriz.$m_1$ kütlesinin sabit olduğunu düşünelim,

$r$: $m_1$'den $m_2$'ye giden vektör olsun.


 

Şekilde görüldüğü üzre, $m_2$'yi $r+dr$ uzaklığa götürürsek;

$$dW=F_{et}dr=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}dr$$
 
işi yapılmış olur.Toplam işi bulmak için ise;

$$W=\displaystyle\int_{r_A}^r\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}dr=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}\Big|_{r_A}^r$$ $$=$$ $$-\dfrac{Gm_1m_2}{r}+\dfrac{Gm_1m_2}{r_{A}}$$

$r_{A}\to \infty$ alırsak

Cisimler arası sonsuz uzaklıktan birbirine $r$ uzaklığa getirilme enerjisini buluruz;

$$W=\displaystyle\int_{\infty}^r\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}dr=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}\Big|_{\infty}^r$$ $$=$$ $$E_p(r)=-\dfrac{Gm_1m_2}{r}$$

Böylece çekim potansiyel enerjisi her zaman negativ olduğu görülür.Bu, kütleleri sonsuz uzaklıktan alıp, bir araya getirdiğimizde sistemden iş alınması demektir.

https://tr.wikipedia.org/wiki/%C4%B0%C5%9F_(fizik)