$\int\sqrt{\tan t}dt$ çözünüz

Question

$\int\sqrt{tant}dt$ ıntegralı nasıl hesaplarız?


$u=\sqrt tant$ diyip çözmeye calıstım sonra $du$=$\frac{1}{2\sqrt{tant}}sec^2t.dt$ geldi

burdanda $2udu$=$sec^2tdt$ geldi  ya ni $dt=\frac{2udu}{sec^2t}$ geldi


bunu ıntegrale yazdım ve $u^2=tant$ eşliğini yaptım üçgen çizip ama beceremedım cok karıştırdım

Comments

Bu Latex konusunda biraz acemiyim, fotoğraf olarak yükleyim dedim artık. Neyse bknz;

Answer 1

$$u^2=\tan t$$ dönüşümü yapalım.

$$u^2=\tan t\Rightarrow \sec^2 t=1+u^4$$ ve

$$u^2=\tan t\Rightarrow 2udu=\sec^2tdt\Rightarrow 2udu=(1+u^4)dt\Rightarrow dt=\frac{2u}{1+u^4}du$$ olur. O halde

$$\int u\frac{2u}{1+u^4}du=\int \frac{2u^2}{1+u^4}du=\int \frac{2u^2}{(1+\sqrt{2}u+u^2)(1-\sqrt{2}u+u^2)}du$$

$$=$$

$$\int \left(\frac{Au+B}{1+\sqrt{2}u+u^2} + \frac{Cu+D}{1-\sqrt{2}u+u^2}\right)du$$

$$=$$

$$\ldots$$

Comments

sanki cozumde hata var...$u^2=\tan t$ ise  $\sec^2 t=1+u^4$ olur.

---

Haklısın. Tekrar düzenledim.

---

Bence bu gibi mekanik işlemleri makineler bırakmak matematiği daha eğlenceli yapıyor:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+2x%5E2%2F(x%5E4%2B1)

(LaTeX gibi) Cevap : (-2 ArcTan[1 - Sqrt[2] x] + 2 ArcTan[1 + Sqrt[2] x] + Log[1 - Sqrt[2] x + x^2] - Log[1 + Sqrt[2] x + x^2])/(2 Sqrt[2])

Answer 2

Bu integralin literatürde bilinen bir çözümü de özetle şöyle: $A= \int\sqrt{\tan t}dt$   ve  $B=\int\sqrt{\cot t}dt$ olsun.  $A+B$   ve  $A-B$   integralleri hesaplanıp toplanırsa istenen elde edilir. Müsait bir zamanda çözümü yazarım.