Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $x,y\in X$  ve $U,N \subseteq X$  olmak üzere

$x$'in açık komşuluklar ailesi:$$\mathcal{U}(x)=\{U| x\in U\in\tau\}$$ $x$'in komşuluklar ailesi:$$\mathcal{N}(x)=\{N|(\exists U\in\mathcal{U}(x)) (U\subseteq N)\}$$

şeklinde tanımlandığına göre;

" $\mathcal{U}(x)=\mathcal{U}(y)\Rightarrow\mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(y)$ " önermesi doğru mudur?

" $\mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(y)\Rightarrow\mathcal{U}(x)=\mathcal{U}(y)$ " önermesi doğru mudur?

  • iki önermenin doğru olmadığına dair ters örnek düşündüm fakat bulamadım. Eğer ikisi de doğruysa ispatında işime yarayacak bir ipucu verirseniz veya aksine örnek olabilecek bir ipucu çok yardımcı olmuş olursunuz. Yardımcı olacak hocalarıma şimdiden teşekkürler.
Lisans Matematik kategorisinde (549 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1k kez görüntülendi

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$U(x)=U(y)$ olduğunu varsayalım.

$N \in N(x)$ olsun. Bu şu demek: $x$'i içeren ve $N$'nin içinde yer alan bir $U$ açık kümesi var. Ama varsayimdan dolayı bu $U$ kümesi $y$'yi de içeriyor. Demek ki $N \in N(y)$. Yani, $N(x) \subseteq N(y)$. Simetriden dolayı $N(y) \subseteq N(x)$. Dolayısıyla eşitlik var. 

Ikincisi için de $U(x)\neq U(y)$ olduğunu varsayalım.

Genelligi bozmadan $x$'i içeren ama $y$'yi içermeyen bir $U$ açık kümesi olduğunu düşünelim. Bu $U$ kümesi $N(x)$'de yer alır. Ama $N(y)$'de yer almaz. Demek ki $N(x) \neq N(y)$.

(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,217 soru
21,750 cevap
73,348 yorum
1,973,853 kullanıcı