Eşitliğin bir tarafına yapılan türev ve integral işlemi, öbür tarafa istisnasız yapılır mı?$x=0$ mı? $x=\pm 2$ mi?

Question

Genelde eşitsizliğimiz var ise sağ ve sol tarafa istenildiği gibi türev de integral alınıyor ama nasıl?

$I(f)$: $f$ fonksiyonu için integral alma

$D(f)$: $f$ fonksiyonu için türev alma operatörü olsun


$$f(x)=h(x)\quad\Rightarrow\quad I(f)=I(h) \tag1$$

$$f(x)=h(x)\quad\Rightarrow\quad D(f)=D(h)\tag2$$


$2$ için savurma:

$\sqrt[k]{j}$  tanımlı olsun ve;

$x^k=j,\quad k,j\in R$  için $kx^{k-1}=0\quad\to\quad x=0$ olur ancak türev almadan önce $x=\sqrt[k]{j}$ bulunmuştu

Daha spesifik olursak;

$x^2=4$   ve  taraf tarafa türev alalım;

$2x=0$ ,  $x=0$ mı? $x=\pm 2$ mi?


Sorunun amacı, eşitliklerde her tarafa işlemler yapılırken hangi şartlar kapsamında ve hangi işlem yapıldığına atıfta bulunmaktır.

Comments

Yukarida yazdigin fonksiyon esitligi mi yoks bir tane x degeri icin esitlik mi?

Answer 1

Bir eşitlikte her zaman her iki tarafın diferansiyeli alınabilir(maalesef lise integralinde değişken değiştirme adı altında her iki tarafın türevini alırız gibi sakat bir ifade kullanılıyor oysa yapılan her iki tarafın diferansiyelini almaktır ama bu belirtilmiyor). Çünkü bunu yapmak eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi uygulamaktır. Türev alma ifadesi göreceli bir ifade, neye göre türev alıyorsunuz onu belirtmek lazım. o yüzden sembolik işaret yerine  d/dx türev operatörünü kullanırsak ne durumda eşitliğin her iki tarafının türevi alınır ne durumda alınmaz o görülmüş olur. u t ye bağlı ,v de x e bağlı fonksiyon olsun u=v iken utürev=vtürev denemez peşinen...  ama du=dv denilebilir. Çünkü u nun neye göre türevini ve v nin neye göre türevini aldığınızı bilmeniz lazım. eşitliğin solunda du/dt işlemi yapıp eşitliğin sağında dv/dx yapamazsınız. çünkü eşitliğin iki yanını farklı operatörlerle çarpış oluyorsunuz. x^2=4 ifadesinde x bir sabit olduğundan eşitliğin her iki yanının bir değişkene göre türevi sıfır olur. bu bir çelişki değildir. Hata; sabit bir x i değişkenmiş gibi kabul etmekten kaynaklanıyor. Ayrıca x i sabit yapan sadece iki çözümünün olması değil sayılabilir adette çözümü oldukça x bir sabittir. Belki sayılabilir sonsuzlukta desek bile yeridir. x^k=j ifadesinde de türev alırken eşitliğin solunu d/dx ile çarpıyorsunuz o halde sağını da d/dx ile çarparsınız ve sağ taraf dj/dx olur yani j nin x e göre birinci türevi demek olur.. x değişkense j de değişkendir ve j nin x e göre birinci türevi 0 diyemeyiz. j ile x arasında bir ilişki görünmüyor olması bir ilişkinin  olmadığı anlamına gelmez.  ama verdiğiniz eşitlikten bu ilişki görünüyor zira j=x^k ise şu halde dj/dx de eşitliğin solundaki sonucu verir ve bu bir çelişki olmaz.

Comments

"Ayrıca x i sabit yapan sadece iki çözümünün olması değil sayılabilir adette çözümü oldukça x bir sabittir. Belki sayılabilir sonsuzlukta desek bile yeridir." bu sözlerinizle ne demek istiyorsunuz? Yani x sadece tüm tam sayıları alabilseydi sayılabilir sonsuz olduğundan sabit mi olacaktı? Kalkülüste sabiti böyle mi düşünmeliyiz?