Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
560 kez görüntülendi

SO(2)  özel ortogonal grubu üzerindeki bütün smooth(düzgün) vektör alanlarını bulunuz? Nasıl başlayacağımı bilemedim. Bu, düzlemdeki dönmelerin grubu ve abelyen bir grup. Sanırım manifold yapısı da var.

Lisans Matematik kategorisinde (3.2k puan) tarafından  | 560 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

RSO(2)θ(cosθsinθsinθcosθ)

SO(2) nin bir parametrizasyonudur ve bu parametrizasyona göre, ddθ vektör alanı SO(2) de, her yerde 0 dan farklı  bir vektör alanıdır. Teğet uzayı 1 boyutlu olduğu için {ddθp} p  noktadasındaki teğet uzayına bir baz olur. Öyleyse, herhangi bir vektör alanı her p noktasında f(p)ddθp (f diferansiyellenbilen bir fonksiyon) şeklinde  olmalıdır. Yani, SO(2) nin her (diferansiyellebilen) teğet vektör alan, bir f:SO(2)R diferansiyellenebilen fonksiyonu için fddθ şeklindedir. Her sürekli teğet vektör alanı sürekli bir f:SO(2)R  fonksiyonu için fddθ şeklindedir.

Manifold oluşu elbette önemli, aksi halde teğet vektörü (ve vektör alanı) kavramı anlamlı olmaz.

Burada, SO(2) her yerde 0 dan farklı bir vektör alanının varlığı ve teğet uzaylarının 1 boyutlu oluşu önemlidir. Benzer şekilde n-boyutlu ve n tane her noktada lineer bağımsız vektör alanlarına sahip manifoldlar için benzer bir cevap bulunabilir.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkür ederim Hocam. SO(2) nin S1 e izomorf olmasından dolayı teğet vektör alanından bahsedebiliyoruz sanırım.Pekiyi bununla ilgili olarak C(TSO(m))  nin elemanı olan bir non-vanishing Z  vektör alanını nasıl inşaa edebilirim? Teşekkürler.

20,297 soru
21,841 cevap
73,542 yorum
2,733,970 kullanıcı