Turev

Question

Her noktasindaki tegetinin egimi o noktanin apsinin ordinatina oranina esit olan ve $A=(3,5)$ noktasindan gecen egrinin $y$ eksenini kestigi noktalar nelerdir?

Comments

Sorulari resim degil metin seklinde soruyoruz. Soru sorma sayfasinda bununla ilgili detayli aciklamalar var. Ayrica soru basliklari soru ile ilgili olmali, aman cozun, cabuk cozun, acil yardim gibi baslikli olan sorulari siliyoruz.

Bu sefer ben duzenliyorum sorunu, bir daha ki sefer bunlara dikkat ederk sor lutfen.

Answer 1

Fonksiyon $f(x)$ olsun. Herhangi bir $x$ için teğetin eğimi $f'(x)$ ile verilir. İşte bu fonksiyon, verilenlere göre

$$f'(x)=\frac{x}{f(x)},\hspace{20px}f(3)=5$$ birinci mertebeden âdî diferansiyel denklemi sağlamalıdır. Bu denklem ayrıştırılıp kolaylıkla çözülürse,  $$fdf=xdx\Rightarrow f^2(x)=x^2 +C$$ bulunur, $C$ keyfî sâbit olmak üzere. 

Demek ki bu şartları sağlayan iki tâne eğri var:

$$y=+\sqrt{x^2+C}$$ $$y=-\sqrt{x^2+C}$$

Keyfî sâbitin tesbîti için için $f(3)=5$ bilgisi kullanılırsa $C=16$ bulunur ve eğrilerin denklemleri, 

$$y=+\sqrt{x^2+4^2}$$ $$y=-\sqrt{x^2+4^2}$$ şeklinde tecellî eder. Bu eğrinin $y$ eksenini kestiği noktaların kümesi ise (yâni $x=0$ için $y$'nin aldığı değerler) seçilen eğriye göre, ya $+4$ ya da $-4$ değerleridir.