$ax^2+bx+c=0$ denkleminin diskriminantı aşağıdakilerden hangisi olamaz ?(a,b,c tam sayılar)

Question

A)16 B)20 C)30 D)48 E)56

Diskriminant = $b^2-4ac$ 4ac 4'ün katı olmalı dedim ama sonrasını bir türlü bulamadım.

Comments

Modulo 4 te dusunun diskriminanti.

---

Teşekkür ederim hocam $b^2$ mod4 te 0 veya 1 olabiliyor 4ac zaten 0 o zaman diskriminant mod4 te ya 1 ya da 0 dır geliyor.Böyle düşündüm hocam doğru mu acaba?

---

Evet, dogru.

---

hocam tam çözüm gelirse çok faydalı olacağını düşünüyorum.

Answer 1

1)  $b\in Z$ tam sayısı tek ise $b=2n+1,\quad n\in N$  den $\Delta =b^2-4.a.c=4n^2+4n+1-4.a.c=4(n^2+n-ac)+1$ olacak ve $\Delta \equiv1(mod4)$ olacaktır. 

2) $b\in Z$ tam sayısı çift ise $b=2n,\quad n\in N$  den $\Delta=b^2-4.a.c=4n^2+4n-4.a.c=4(n^2+n-ac)$ olacak ve $\Delta \equiv0(mod4)$ olacaktır. 

Demek ki diskriminanat (belirleyici) $4$ ile bölündüğünde ya $1$ kalanı ya da $0$ kalanı veren bir sayı olmalıdır. Buna göre $\Delta\neq 30$ dir.

Comments

Peki diger bir soru olarak hocam, her $0,1\mod 4$ tamsaylari icin en az bir $(a,b,c)$ uclusu bulabilir miyiz? 

Su an diger seceneklerin aslinda olabilitesi var sadece. (Yukaridaki tabi daha genel, secenek elemek icin kalan dort secenege ornek bulmak yeterli).

---

1) $\Delta \equiv 0(mod4)\Rightarrow  b=2.n,\quad n\in Z$  

 $4n^2-4a.c\equiv4(n^2-a.c)\equiv0(mod4)$  olup denkliğin sağlanması $ n^2-a.c$ den bağımsızdır. Dolayısıyla  $b$ çift bir tam sayı olmak üzere istenilen koşulları sağlayan (a,b,c) üçlüsü daima vardır.

2)$\Delta \equiv 1(mod4)\Rightarrow  b=2.n+1\quad n\in Z$  

 $4n^2+4n+1-4a.c\equiv4(n^2+n-a.c)+1\equiv1(mod4)$  olduğundan, $b$ tek bir tam sayı olmak üzere istenilen koşulları sağlayan (a,b,c) üçlüsü daima vardır. Burada $a\neq0$ olduğu unutulmamalıdır.