fonksiyonda islem

Question

f ve g gercek sayilarda taimli fonksiyonlardir.

$(fogo$$f^{-1}$o$g^{-1}$(x)=$\frac{3x-17}{4}$

($g^{-1}$o$f^{-1}$)(x)=$4x-1$

olduguna gore (gof)(3) ifadesinin degeri kactir?

($g^{-1}$o$f^{-1}$)(x) ifadesini. ${(fog)}^{-1}$ seklinde duzenledim.

Comments

Bulduğun $(f\circ g)^{-1}$ ifadesini ilk verilen fonksiyonda baştan bileşkeye sok. Elinde $(f^{-1}\circ g^{-1}$) ifadesi kalacak.Bu ifade de $(g\circ f)^{-1}$'e eşit değil mi?

Answer 1

fonksiyonlarda ters alma işlevi commutative degildir yani değişmeli ;


$(f\circ g)^{-1}(x)$    bu fonksıyon   $f\circ g(x)$ bunun tersidir ancak $(f\circ g)^{-1}(x)$  eşiti nedir?

$(f\circ g)^{-1}(x)=g^{-1}\circ f^{-1}(x)$ oldugunu varsayalım  ve ispatlayalım


Fonksiyonlardan biliyoruz ki , $f\circ f^{-1} (x)=x$  dir veya $f^{-1}\circ f (x)=x$ dir.


Dolayısıyla $A(x)=f\circ g (x)$  tanımlayalım. Eğer gerçekten de  $(f\circ g)^{-1}(x)=g^{-1}\circ f^{-1}(x)$ böyle ise $A\circ A^{-1} (x)=x$ bulmalıyız hadi yapalım;


$f\circ g (x)=A(x)$    her tarafa sağdan $g$'nin tersini uygulayalım;


$f\circ \underbrace{(g \circ g^{-1})}_{x}(x)=f\circ x\circ x=f(x)=A\circ g^{-1}(x)$ ,  ve bu sefer de $f$'nin tersini;

$f(x)=A\circ g^{-1}(x)\quad\equiv\quad \underbrace{(f\circ f^{-1})}_{x}(x)=x=A\circ \underbrace{g^{-1}\circ f^{-1}}_{A^{-1}}(x)$

İspatlanır $\Box$

Soruya dönelim;

$g^{-1}\circ f^{-1}(x)=(f\circ g)^{-1}(x)=4x-1$  olmu taraf tarafa ters alırsak;

$f\circ g(x)=\dfrac{x+1}{4}$ bulursun ama buna gerek bile yok;

$g^{-1}\circ f^{-1}(x)=4x-1$   bu işlemi aşşağıdaki denklemde sol taraflardan uygulayalım;

$f\circ g\circ f^{-1}\circ g^{-1} (x)=\dfrac{3x-17}{4}$

$\underbrace{g^{-1}\circ f^{-1} \circ f\circ g}_{x}\circ f^{-1}\circ g^{-1} (x)=(4x-1)\circ\left(\frac{3x-17}{4}\right)=4\left(\frac{3x-17}{4}\right)-1=3x-18$

ve en üstteki ispattan biliyoruz ki;

$f^{-1}\circ g^{-1} (x)=3x-18$  ise;

$(g\circ f)^{-1}(x)=3x-18$  her tarafın tersini al;

$g\circ f(x)=\dfrac{x+18}{3}$

$\boxed{g\circ f(3)=21/3=7}$

Comments

Anıl hocam kusura bakma telefondan yazarken senin cevapladığını göremedim :(

---

Nıye kusurabakıyım ne guzel farklı farklı cevaplar :) hem senınkı pratık benımkı de uzun acıklama ısteyene gore secım :)

---

Elimize sağlık o zaman :)

Answer 2

Dediğin gibi 

$(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=(f \circ g)^{-1}(x)$ 

olmalı. O zaman 

$(f \circ g)^{-1}(x)=4x-1 \\ (f \circ g)(x)=\frac{x+1}{4}$

olacak. Yukarıdaki ifade 

$(f\circ g)((f^{-1}\circ g^{-1})(x))=\frac {(f^{-1}\circ g^{-1})(x)+1}{4}$

olduğuna göre

$(f^{-1}\circ g^{-1})(x)=((g\circ f)^{-1}(x)=3x-18$

sonucunu elde ederiz. 

$((g\circ f)^{-1}(7)=3$ ise...