fonksiyonda islem

Question

f:(-$\infty$,0)→(-1,$\infty$) veg(x) dogrusal fonksiyon olmak uzere,

f(x)=x²-1

f(x+g(x))=4xg(x)-1

olduguna gore, $(fog)^{-1}$(3) ifadesinin degeri kactir?

g(x)  yerine ax+b seklinde yazdim,bir sonuc bulamadim.

Comments

f(+g(x))=4xg(x)-1

ifadesi pek anlaşılır gelmedi bana.Farklı şeylerin arasına . koyup yazarsan daha anlaşılır olabilir.

---

Soruyu bir daha kontrol eder misin? baya bir uğraştım fakat her seferinde aynı noktaya geldim

$f(x)+f(g(x))=4x.g(x)-1$,

$f(x)=x^2-1$ ise,

$x^2-1+f(g(x))=4x.g(x)-1$,

$f(g(x))=4x.g(x)-x^2$ oluyor.

Daha sonra $g(x)=mx+n$ diyoruz ve

$f(mx+n)=4.(mx+n)(mx+n)-(mx+n)^2=3(mx+n)^2$

oluyor.Bunu ikinci eşitlikten yazdık.Daha sonra ilk eşitlikte $f(mx+n)$'i bulmak istersek

$f(mx+n)=(mx+n)^2-1$ oluyor. Bulduğumuz iki $f(mx+n)$ değerini eşitlersek

$3(mx+n)^2=(mx+n)^2-1$,

$2(mx+n)^2=-1$ oluyor ki böyle bir $mx+n$ değeri mümkün görünmüyor.

---

bende bulamamıştım ancak cok kolay bıryerden cıkıyor galıba eklıyorum.

---

Sormak istediğim şey, böyle bir $g(x)$ değeri var mıdır gerçekten?

---

vardır ve $x=g(x)$'dir yerıne yazarak bır gereklılık için ihlal oluşturmadıgını gorebılırız, varsayıp buluyoruz sonra ıhlal edıyormu dıye bakıyoruz burada.

---

Yukarıda yazdığım işlemlerde bir yanlışlık göremediğimden dolayı bunu sağlayan $g(x)$ değerinin olmadığını düşünmüştüm,sanırım bir yerde hata yaptım.Teşekkürler yine de.

---

$f$ bir fonksıyon olmak üzre ;

$f(a+b)=f(a)+f(b)$ herzaman sağlanmaz örneğin $f(x)=2^x$ için yaparsak;


$f(x+y)=2^{x+y}=2^x.2^y\neq f(x)+f(y)=2^x+2^y$

---

Peki bunun ne zaman kullanılıp ne zaman kullanılamayacağını nasıl bilebilirim?

Mesela bu soruya baktığımda bu kuralı neden uygulayamam? (Verdiğiniz örneklerden her zaman sağlanmadığını anladım fakat soru içinde nasıl bu tespiti yapacağımı bilemedim.)

X değeri üste ise gibi bir yorum mu yapacağız yoksa?

---

Güzel soru bunu açıklamayla birlikte soru olarak sorabilirsin bence.

Answer 1

$f(x)=x^2-1$  olduguna gore ve

$f(x+g(x))=4xg(x)-1$  yani;


$f(x+g(x))=4xg(x)-1=(x+g(x))^2-1$


$x^2+g(x)^2+2xg(x)=4xg(x)$ gelir ve sadeleştirirsek;

$x^2-2xg(x)+g(x)^2=0=(x-g(x))^2$  yani;

$x=g(x)$  imiş.

$f\circ g(x)=x^2-1$ olur ve;

$f\circ g(h)=h^2-1=3$ olur ve buradan $h=\pm 2$ gelir.

yani cevap hem $(f\circ g)^{-1}(3)=2$ hem $(f\circ g)^{-1}(3)=-2$

Answer 2

BU HATALI YAKLAŞIM, DİĞER CEVABIM DOĞRUDUR.
 

$g(x)=ax+b$ ise ve  $f(x)=x^2-1$   ve  $f(g(x)+x)=4x(g(x))-1$ oluyormuş;


$f(x+g(x))=f(x+ax+b)=\underbrace{(x+ax+b)^2-1=4x(ax+b)-1}$ imiş

Altı çizili ifadeyi yaparsak;

$x^2+(ax+b)^2+2x(ax+b)=4x(ax+b)$ gelir  ve bu karışık bir durum gerek yok;


bizden istenilen $(f\circ g)^{-1}(3)=?$ , $?$ yerine $h$ diyelim ve çözelim;

$(f\circ g)^{-1}(3)=h$  imiş o zaman ters fonksiyon kuralıyla,  $f\circ g(h)=3$ olur

$f(g(x)+x)=f(ax+1+x)=f(x(a+1)+1)=4x(g(x))-1$ verilmişti bize $f\circ g$ lazım olduğundan f'in içinde sadece $ax+b$ kalmalı;

o zaman $x=u$  olduğunda $au+1+u=ax+1$  oluyorsa bu $u$, $x$cinsinden nedir?

 $au+1+u=ax+1$   ve buradan $u=\dfrac{ax+b-1}{a+1}$
 
Yani $f(g(x)+x)=f(ax+1+x)=f(x(a+1)+1)=4x(g(x))-1$  burada her x yerine bu u ifadesinin eşitliğini yazmalıyız;

$f(x(a+1)+1)=4x(g(x))-1$    buradan da;


$\boxed{\boxed{ f(ax+b)=f\circ g(x)=4\left(\dfrac{ax+b-1}{a+1}\right)\left(a\left(\dfrac{ax+b-1}{a+1}\right)+b\right)-1}}$

$f\circ g(h)=3$ oldugunu biliyorsak;

$f(ah+b)=f\circ g(h)= f(ah+b)=f\circ g(h)=4\left(\dfrac{ah+b-1}{a+1}\right)\left(a\left(\dfrac{ah+b-1}{a+1}\right)+b\right)-1=3$

ve buradan da bır yol cıkmıyor, ya hata yaptım veya soruda bazı noktalarda uyuşmama var.

Comments

Cok ozur diliyorum yanlisligi duzelttim.

---

ozre gerek yok cunkı yanlışlık yok, diğer cevaba bakınız.