$7x - 3 ≡ 2x (mod 13)$ denklemin tam sayı çözümlerini bulunuz

Question

$7x - 3 ≡ 2x (mod 13)$ denkleminin tam sayı çözümlerini bulunuz.

bu soruyu ancak $5x ≡ 3 (mod 13)$ şeklinde ilerlettim cevabı:

$Ç = \{ 11 + 13x\quad|\quad   x\in \mathbb Z\}$

Not:öyle ki sembolünü bir türlü bulamadım böyle devam ettirdim kusura bakmayın.

Modüler aritmetik denklemlerinin tam sayı çözümlerini ders kitabından baktım anlayamadım çözümleri yani çözüm basamaklarını hiç anlatmadan yazmış,internettede hiç mod denklemlerinin tam sayı çözümleme örneklerinide bulamadım.

Bu çözümlemeyi bana tam ve güzel bir şekilde açıklayabilirseniz sevinirim.

Comments

siz neler denediniz onu açıklamalısınız ayrıca etiketler mantıklı degıl?

---

Her zaman bir şey buluyosunuz ama olmuyorki böyle ben sorumu sormuşum denediğim şeyleri yazmama gerek varmı? Yani bulamadım o yüzden aldım getirdim soruyu size soruyorum lütfen yapmayın ya. Tamam etiket konusunda haklısınızda yok resim olmaz yok şöyle yok böyle sormuşsun yani benim zamanım yok bunlara zaten derslerim kötü soruyorum işte

---

Facebook gibi ortamlarda bu tarz sorulara, tam istediginiz gibi sorgulamadan ve hemen verilecek cevap platformları var, burası o platformlardan degıl burada anlamadıgınız yerın mantıgını ıyıce araştırıp sorarsınız guzel cevaplar ve bılgıler alırsınız ve orayı tam olarak anlarsınız.

---

Olmuştur herhalde Anıl abi

---

tamamdır ,latex kodları ıçın de başa ve sona $ koymak gerek onları şuan ben koyuyorum. iyi çalışmalar

---

7x - 3 ≡ 2x (mod 13)

Burada  mod 13 'te   -3 yerine 10 yazabiliriz. 

7x+10 ≡   2x    (mod 13)

Yani mod 13'e göre sol tarafın kalanı ile sağ tarafın kalanı aynı olmalıdır.

---

@accontr2, uyarilari dikkate almaniz sizin gelisiminiz icindir. Ne kadar aciklamali ve net sorarsaniz, gelecek cevaplar da (kisilerin bilgileri ve vakitleri duzeyince) o kadar acik olur.

Bu soruya ilk hali ile soyle bir cevap alabilirdiniz muhtemelen: $5x\equiv 3$ ise $x\equiv11$ olur.

Answer 1

ilk olarak moduler aritmetigi anlamaliyiz. 


$n>1$ bir dogal sayi olsun. $k \mod n$ su demektir: $n$ tam sayisina bolundugunde $k$ ile ayni kalanini veren tum tam sayilarin sinifi (kumesi de diyebiliriz).

Ornegin: $17 \mod 13$ nedir?

$17$ sayisini $13$e boldugumuzde $4$ kalanini elde ederiz. Bu nedenle elde ettigimiz sinif: $$\{\cdots,-24,-11,4,17,30,43,\cdots\}=\{4+13a \: | \: a \in \mathbb Z\}$$ olur.

Hatta $$0\mod 13 \;\;\;\;\text{ su demek }\;\;\; \{\;\;\;\;\;\;13a \: | \: a \in \mathbb Z\},$$ $$1\mod 13 \;\;\;\;\text{ su demek }\;\;\; \{1+13a \: | \: a \in \mathbb Z\},$$ $$2\mod 13 \;\;\;\;\text{ su demek }\;\;\; \{2+13a \: | \: a \in \mathbb Z\},$$ $$3\mod 13 \;\;\;\;\text{ su demek }\;\;\; \{3+13a \: | \: a \in \mathbb Z\},$$ $$4\mod 13 \;\;\;\;\text{ su demek }\;\;\; \{4+13a \: | \: a \in \mathbb Z\},$$ $$\vdots$$ $$12\mod 13 \;\;\;\;\text{ su demek }\;\;\; \{12+13a \: | \: a \in \mathbb Z\}.$$

Modular aritmetikte sunlari yapabilirsin $$(a+b) \mod n \;\;\;\; \text{ ya da }\;\;\;\; ab\mod n$$ sorulursa $$a\mod n \;\;\;\text{ ve } \;\;\;\; b \mod n$$ degerlerin bulup bu degerleri toplayip/carpip degeri bulabilirsin. 

Ornegin $$(15\cdot 41) \mod 13\equiv 615 \mod 13 \equiv 6 \mod 13$$ ya da $$15 \mod 13 \equiv 3 \mod 13 \;\;\; \text{ ve }\;\;\; 41 \mod 13\equiv 2 \mod 13$$ oldugundan, carpiplarindan, $$(15\cdot 41) \mod 13\equiv 6 \mod 13.$$


_________________________

Soruna gecersek $$5x \equiv 3 \mod 13$$ isteniyor. Her iki tarafi $8$ ile carparsak $$40x\equiv 24 \mod 13$$ olur. $$40\equiv 1 \mod 13 \;\;\;\; \text{ ve }\;\;\;\; 24\equiv 11 \mod 13$$ oldugundan $$x\equiv 11\mod 13$$ olur. Yani cozum kumesi olarak   $$\{11+13a \: | \: a \in \mathbb Z\}$$ kumesini elde ederiz.

Comments

Çözümde   5x≡3  (mod 13)   isteniyor . denmiş.

Onluk düzende işlem yapılmadığına göre nedenini  açıklayabilir misiniz?

---

Yukarida nedenleri var @suitable2015. Guzel bir noktaya da degindiniz ayrica. Bu tarz aciklamalari sizin soru ve cevaplarinizdan da bekliyoruz/m.