$n\ge 3$ için $n^{n+1} > (n+1)^n$ bu eşitlik hakkında düşünelim ve göstermeye çalışalım.

Question

Ana Soru : $n\ge 3$   için  $n^{n+1} > (n+1)^n$  yani başka bir deyişle,

$n> \left(1+\dfrac1n \right)^n$  olduğunu gösteriniz.

Matematiksel indüksiyon, veya aşağıdaki linkdeki eşitlikler kullanılabilinir;

http://matkafasi.com/100703


Birkaç metodu ,ilerleyen zamanlarda ben ekliyeceğim.

Comments

$$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$$ kuralı ile verilen $$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$[e,\infty)$$ aralığında artan olduğunu göstererek de yapılabilir.

Answer 1

$\dfrac 1 n = M$    $n> \left( 1 + M \right )^n$   M sayısı varsa, her zaman $1$'den küçüktür,

hatta $\dfrac{1}{2}$ den küçük-eşit seçebiliriz,
 
çünkü eğer bir $M > \dfrac{1}{2}$ için $\left( 1 + M \right)^n < n$ eşitsizliği doğruysa, o zaman $M =\dfrac{1}{2}$ için de eşitlik doğrudur.

$\left(1+M\right)^n =  1^n + \dbinom{n}{1} 1^{n-1} M +  .....+  \dbinom{n}{i} 1^{n-i} M + .... + M^n$

$< 1 + \dbinom{n}{1} M + \dbinom{n}{2} M + ... + \dbinom{n}{i} M + ... + M$

$= M \left( \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} + .... + 1 \right) + 1 = MB + 1$

Demek ki  $\left( 1 + M \right) < n$ eşitsizliğinin sağlanması için $x^n + MB \le n$ eşitsizliğinin sağlanması yeterlidir.

Dolayısıyla M nin ne kadar küçük olması gerektiği de bellidir.

$\dfrac1n = min \left\{\dfrac12 , \dfrac{n-1}B \right\}$