Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
270 kez görüntülendi

$R$ sonlu bir halka ve $1 \in R$. Gosteriniz: $R$'nin tum elemanlari $R$'nin sifir boleni (zero divisor) ya da birim elemanidir (unit).

$R$ sonlu ve $1 \not \in R$ icin bilginiz varsa ve paylasirsaniz sevinirim.

Lisans Matematik kategorisinde (24.5k puan) tarafından  | 270 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$a\in R$ sıfır bölen olmasın. $f:R\to R, \quad f(x)=x*a$ olsun. $a$ nın sıfır bölen olmayışından, $f$ 1-1 olur. $R$ sonlu olduğundan $f$ örtendir. Dolayısıyla $f(b)=b*a=1$ olacak şekilde bir $b\in R$ vardır. Sercan ın diğer probleminden (veya $g:R\to R,\quad g(x)=a*x$ dönüşümünü kullanarak) $b$, $a$ nın tersidir.

$R$ de birim eleman yoksa: 

$a$ sıfır bölen değilse, (aynı ispat ile) her $b\in R$ için $a*x=b$ ve $x*a=b$ denklemlerinin (tek) çözümü vardır.

(4.8k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eğer $1 \notin R$ ise tersinir elemanlardan bahsedemeyiz. Yani soru anlamsız.

Eğer sonlu bir halkada $1$ elemani yoksa, o zaman tüm elemanlar sıfırbölendir. Sıfırbölen olmayan bir $r$ elemani alın, çelişki bulacağız.

Halkanın elemanlarını soldan $r$ ile çarpmak birebir (ve dolayısıyla örten) bir fonksiyon belirler: de ki $rx = ry$, o zaman $r(x - y) = 0$, o zaman $r$ sıfırbölen olmadığından mecburen $x -y = 0$.

Halkanın elemanlarının bu eşleşmesi $\operatorname{Sym}(R)$'de bir eleman, adını $\sigma$ koydum. Halka sonlu olduğundan $\sigma^n = \mathbb{1_R}$. Demek ki soldan $a^n$ ile çarpmak halkanın hiçbir elemanına hiçbir şey yapmıyor. Bu da tam olarak $a^n$ soldan etkisiz eleman. Ama aynı şekilde $a$ ile sağdan çarpmak da bir $\tau \in \operatorname{Sym}(R)$, ve $\tau^m = \mathbb{1}_R$. Demek ki $a^m$ sağdan etkisiz eleman.

Halkanın (hatta yarıgrubun) hem soldan hem de sağdan etkisiz elemanları varsa birbirlerine eşit olmak zorundadır.

E hani $1 \notin R$? Çelişki.

Not: Çelişki argümanını yapmazsanız aslında etkisiz elemanı olan halkalarda sıfırbölen olmayan her elemanın tersinir olduğu da yukarıdaki argümandan çıkar.

Aşağıda bir cevap varmış, kusura bakmayın tekrar oldu.




(258 puan) tarafından 
18,619 soru
20,880 cevap
68,118 yorum
19,495 kullanıcı