Question

Bir cismin çarpım grubunun sonlu altgrupları devirlidir.

Answer 1

$G$, bir cismin çarpım grubunun sonlu bir altgrubu olsun. Bu durumda $G$ değişmelidir.

$k=\max\{\left| g \right| \mid g\in G\}$

olmak üzere, her $g\in G$ için $g^k=1$ koşulu sağlanmalı. Demek ki $G$ grubunun her elemanı, $X^k-1$ polinomunun bir kökü. Bu polinomun en fazla $k$ tane kökü olacağından, $\left| G \right|\leq k$. Diğer yandan Lagrange Teoremi'ne göre $k\leq \left| G \right|$. Bu durumda $\left| G \right|=k$ elde edilir ki bu da $G$ içinde mertebesi $k$ olan bir eleman olduğunu gösterir. Yani $G$ devirli.