Kompleks sayılarla , cisimden alınan $0$ elemanın çarpımı neden sıfırdır ve "sonsuz" ile çarpımı neden sonsuzdur?

Question

Başlıktan anlaşılcağı üzre;

$a\in\mathbb C$  olmak üzere, $a.0_{\mathbb C}=0_{\mathbb C}$  durumunu tanımlarla formal olarak gösterip, derin olan mevzusunu tartışalım, yani eğer bir uzaylı dünyaya gelseydi veya lisede ve ilk okulda size bu 0 ile çarpım ezberletilmeseydi, inanıyorum ki bunu anlamak hiç te kolay gelmeyecekti (çağanla lineer cebir dersinden)

Ve şu aşşağıdaki yazılanları açıklayıp ispatlayalım;

$u\in\mathbb R$


1) $\infty u=u\infty=\infty$    Neden?

2) $\infty \infty=?$

3) $\infty^u=?$     ,   $u\in\mathbb R^+$  iken.

4) $\infty^\infty$ ne anlama gelir ,geldiği anlamı ispat edelim.

5) $\infty\overbrace{^{(\infty^{.^{.^{(\infty)}}})}}^{k\;tane} $     , $\infty$'nin $k\in\mathbb R^+$ kere üssünü almak.

6) $\infty+\infty=\infty$

7) $(\infty-u)\wedge (\infty+u)\equiv \infty \pm u=\infty$

İlgili Soru:http://matkafasi.com/100564/seriler-yakinsiyorsa-genel-sayiya-yakinsayabilir-curutunuz

Comments

$\infty$'nin tanımı ne?

---

herhangi reel sayıdan büyük olan bir sayı.

---

Sayı derken, Hangi kümenin elemanı?

---

$R \cup\{\infty\}$  kümesinin

---

Bu küme bir ne? Üzerinde işlem mi var?

---

İşte böyle bir küme ile ilgili yukarıdaki sorularımı cevaplayacak bir kaynak bulamamıştım, dolayısıyla bu tarz bir bilgisi olanın yönlendirmesini istemiş bulunmuşum. Üzerine işlemi bulsam zaten hepsi tanımdan çıkıyor, ama daha güzel ve tanımdan daha karmaşık bir şeyler olabilir demiştim.

---

Limit ve toplam sorularını okudum, anladığım kadarıyla "sonsuz" kavramıyla ilgili biraz kafan karışık. Öncelikli olarak bunu anlamaya çalışmalısın. Bunun için de en önemli ve ilk ayrıntı şudur:

$$\textbf{SONSUZ BİR İSİM DEĞİL SIFATTIR.}$$

Bu ne demek? Sonsuz diye bir yer yok! Sonsuz diye bir sayı yok. Mesela, hiçbir dizi sonsuza gitmez $$\lim_{x\longrightarrow a}f(x)=\infty$$

demek, handi sonlu sayıyı (zaten hepsi sonlu ya, laf olsun torbayı doldursun diye sonlu sıfatını kullandım) alırsak alalım, $a$'ya yeterince yaklaşarak $f$ ile o sonlu sayıyı aşabilirim. Simgesel olarak da $$\forall N\in\mathbb{N},\;\exists \epsilon_N (|x-a|<\epsilon_N\Longrightarrow f(x)>N).$$

Limit sorunda Özgür'ün sana anlatmak istediği durumun bir açıklaması da var simgesel açıklamada. Her $N$ için bir epsilon var diyoruz değil mi? Ama ne yazdım oraya, $\epsilon_N$, yani epsilonumuz $N$'ye göre değişiyor.

---

"cevapla" demek yerine yanlışlıkla "gizle" demişim...

Bu soruları ve diğer yorum yaptığınız soruları tanımları tam anlamadan sormuşum zamanında, dolayısıyla şuanda olsa böyle bir şey sormam çünkü soruluş şekliyle anlamsız olduğunu anladım, ayrıca zaten tanımlar haricinde böyle şeyleri düşünürsek(%100 düşünmek zorunda olursak) nasıl yorumlamalıyız'a getirmeye çalışmışım sanırım, şimdi bu soruları okuyunca o zaman ne düşündüğümü de hatırlamıyorum yani sanki başkasının sorularını okuyor gibi oluyorum. Şuanda sıkıntı yok

---

O zaman ekstra okuma: Cemil Kavukçu - Başkasının Rüyaları.

---

Bütün bu konuşmalardan sonra, gelelim asıl soruya. Diyelim ki bir nedenden ötürü, reel sayıları daha büyük bir kümenin içine atmak istiyoruz: $$\mathbb{R}\subset X$$ Ama öyle ki, bu daha büyük kümede de bir sıralama olsun ve bu sıralama $\mathbb{R}$'de, reel sayılardaki sıralamanın aynısı olsun ve bu kümede reel sayılardaki her elemandan büyük bir tane daha eleman olsun. Dikkat et, illa da böyle yapmak zorunda değildik. Mesela $X$ kümemizi, $a$ adlı bir elemanı şöyle koyabilirdim.

1. $Y=\mathbb{R}\cup \{a\}$
2. $a>r,\forall r\leq 0$
3. $a<r, \forall r> 0$

Neyse, bu örneğimizi bir kenara bırakalım. Biz şöyle bir şey istiyoruz kümemizden..

1. $X=\mathbb{R}\cup \{a\}$
2. $a>r,\forall r\mathbb{R}$

Şimdi bu $r$ elemanı bizim kafamızdaki sonsuz kavramının bir nevi cisimleşmiş hali. O halde, simge olarak $a$ değil de, $\infty$ simgesini kullanalım.

1. $X=\mathbb{R}\cup \{\infty\}$
2. $\infty>r,\forall r\mathbb{R}$

Pekala, başta istediğimiz tipte bir küme oluşturduk (bazı kümeler kuramı aksiyomlarını şunlarını bunlarını da kullanmışızdır kesin de, onlar aynı konu başlığıdır.) Başka bir şey istiyor muyuz bu $X$ kümesinden? Mesela reel sayılardaki sıralamayla ilgili bazı özellikler sağlamasını istemiştik, o sorunu hallettik. Reel sayılarda toplama da var. Toplamayla ilgili isteklerimiz de olabilir ve bu istekler sıklıkla bir fonksiyonu bir kümenin tamamına belli bir özelliği koruyarak formal biçimde genişletmek istediğimizde karşımıza çıkar.  

Örnek: Polinomlar ve derece fonksiyonu. $\deg f\cdot g=\deg f+ \deg g$ özelliği sağlansın istiyoruz ilk olarak. Ve derece fonksiyonu $0$ polinomuna atayacak bir tam sayı bulamıyor. O halde biz bir tane $c$ elemanı ekleyelim bu dereceyi karşılamak için.

1. $Z=\mathbb{Z}\cup \{c\}$

Evet, şimdi $\deg 0=c$ diyip işimize bakabiliriz. Ama biz $\deg (f\cdot g)=\deg f+ \deg g$ eşitliği de sağlansın istiyoruz. Yani $c$ ile toplama da yapabilmemiz gerekiyor. $f$ yerine $0$, $g$ yerine de $X^n$ alırsak, $c$ ile toplamanın hangi özelliği sağlaması gerekir? Şunu $$c= \deg 0=\deg (0\cdot X^n)=\deg 0+\deg X^n=c+n$$ ve $g=0$ alırsak $$c+c=c$$eşitliğini de elde ederiz. O halde biz derece fonksiyonunu artık bütün polinomlar için tanımlayabiliriz. Sıfır olmayan polinomların derecesini bildiğimiz derecesi olarak, sıfır polinomunun derecesini de $c$ olarak: $$\hat{\deg}: \mathbb{R}[X]\longrightarrow Z$$ Kural da şu: $\hat{\deg}(f)=\deg (f)$ eğer $f\neq 0$, $\hat{\deg}(0)=c$. Bu yeni fonksiyonun, eski kısıtlı fonksiyonumuzun sağladığı çarpmayı toplamaya çevirme özelliğini sağlamasını istiyorsak, $Z$ üzerinde bir de toplama olması gerekiyor. Nasıl bir toplama tanımlamalıyız. Yukarıda bulmuştuk: Yeni kümemizde toplamayı da yukarıdaki gibi tanımlarsak sorun çözülür. 

Bitmedi. Derece fonksiyonunun şu özelliği de var. $f(g)=\deg f\cdot \deg g$. Bu özellik de sağlansın istiyorsak $\hat{\deg}$ fonksiyonunun, $c$ ile çarpmayı da tanımlamalıyız. Nasıl tanımlamalıyız?

Benzer beklentilerimiz $X$ kümesi için de olabilir. Bir nedenden ötürü 

Sonra devam edeceğim...