$e^x$'in eşit olduğu bir seri sorusu.

Question

Eğer $x$ pozitif reel sayı ise ;

$\displaystyle e^x= \prod\limits^{\infty}_{n=1}$ $ \left( \prod\limits^{n}_{k=0} (kx+1)^{(-1)^{k+1} \binom{n}{k}} \right )^{\frac{1}{n}}$

olduğunu gösteriniz?

Nasıl bir yaklaşım izlemeliyim? Neler deneyebilirim. Çünkü aklıma pek bir şey gelmiyor .

Comments

ilk önce prod'un üstündeki sonsuza m der , başa limitde m sonsuza giderken yazarım bu sayede limitli $exp$ tanımına benzer, içlerin aynı oldugunu varsayıp sadeleştırmeye devam ederdım, eve geçince daha açıklayıcı olurum :)

---

Sağ tarafın logaritmesını almayı dene.

---

Demın dedıgım yontem logaritmasızdı ama en baştan $\prod_k^n u(k)^{m(k)}=(\prod_k^nu(k))^{\sum_k^n m(k)}$ kullanımıyla  yanlışmış ,halbukı çok güzel 5 eşitlik falan eşleşerek güzel gidiyordum , en son $\prod_k^n(1+kx)$ de takıldım ama bunlara hiç gerek olmadan şöyle yapıyoruz;


$\ln\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} f(k)^{\left(\mu(k)\right)}\right)\neq \ln\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} f(k)\right)^{\mu(k)}$

Ve;

$\ln\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} f(k)^{\left(\mu(k)\right)}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \ln\left(f(k)^{\left(\mu(k)\right)}\right)$


$\ln\left(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} f(k)\right)^{\mu(k)}=\mu(k)\displaystyle\sum_{k=1}^n\ln\left(f(k)\right)$

Ve sanırım şu da işe yarıyordu;

$\boxed{\boxed{y=ln(1-x)=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^k}{k},\quad x\in[-1,1)}}$