$F$ kuvvetinin aralığını bulunuz

Question

Soru : Cisim ile araba arasında $\mu_s$ statik sürtünme katsayısı varken, araba $F$ kuvvetiyle itilerek beraber hareket ediyorlar(Cisim araba üzerinde kaymadan). O halde $F$ kuvvetinin olabileceği aralığı $m_1$, $m_2$, $\theta$, $\mu_s$ ve $g$ cinsinden bulalım.

Dipnot :Çözüm için birşeyler yapmıştım önceden, hatta asıl niyetim takıldığım yeri sormaktı ama daha ilerleyebilirim sanırım. O yüzden tıkandığım yerde eklemeyi yapacağım.

Answer 1

                                                                                   Şekil 1

İlk önce küçük $m$ cisminin üstüne uygulanan tüm kuvvetlere bakalım, ben bunlara Ana Kuvvetler diyip gösterdim.

Ve vektörler konusundan biliyoruz ki, $90^{\circ}$'lik bir skala için ;


                                                                             Şekil 2
 

Bu mantıkla yola çıkarak ana kuvvetleri $F_i$ bileşenlerine ayırıp , ana kuvvetleri hesaptan çıkardım;

$\Box F$    ve     $\star F$       $1.$ şekilde sağ üstte belirtilen kuvvetlerdir.

$F_1=\Box F cos\theta$ 

$F_2=\Box F sin\theta$

$----------------$

$F_3=\star F cos\theta$

$F_4=\star F sin\theta$

Gördüğünüz gibi elimizde $4$ kuvvet var;

Ama $\Box F$    ve    $\star F$  ne demek?


$\Box F$ : Büyük tüm cisim $F=(m+M)a$ kuvvetiyle sağa doğru itilirken küçük  $m$ cismi  $F=m.a$ kuvvetiyle sola doğru savrulur ancak cisim eğik olduğundan tam sol demiyoruz ve bileşenlerine ayırıyoruz.

$\star F$ : Bu kuvvet ise bildiginiz, cismin yerçekimi kuvvetidir.

Küçük $m$ cisminin dengede durduğu söylenmiş, denklemlerimizi yazmadan önce şunu anlayalım,

Cismi aşşağıya doğru çeken bir $F_4$ kuvveti var ve yukarı çeken $F_1$ var peki $F_2$  ve  $F_3$ den ne haber var?

$F_2$  ve  $F_3$  kuvvetleri aynı yöndedir ve $F_1$ yönünde bir sürtünme kuvveti oluştururlar.

$F_s$ : Sürtünme kuvvetidir, herzaman cismin yönüne terstir ve formülü $mg.\mu_s$ (ağırlık kadar sürtünme katsayısı)

Sonuç olarak denklemi yazalım;

$\Box Fcos\theta+\left(\Box Fsin\theta +\star Fcos\theta \right)\mu_s=\star Fsin\theta$

bunu yeniden yazalım dolayısıyla , en soldaki arabayı iten kuvvete $F$ dersek ve düzeltirsek;

$Fcos\theta+Fsin\theta\mu_s+mgcos\theta\mu_s=mgsin\theta$

ve aralığa gerek olmadan $m,g,\theta,\mu_s$ cinsinden;


$\boxed{\boxed{F=\dfrac{mg(sin\theta-\mu_s cos\theta)}{\mu_s sin\theta+cos\theta}}}$

Comments

Eylemsizlik kuvvetine verdim eksiyi :) Aralığa neden gerek yok peki, sürtünme kuvveti olan $N.\mu_s\leq f_s\leq N.\mu_s$ değil mi? Bence aralık göstermemiz gerek.

---

O en genel tanım, hatta oraya dınamık surtunmeyı de eklemen gerek;


Statık surtunme cısım duruyorkenkı hesaplanacak surtunmesıdır,

Dinamık surtunme ıse cısım hareket ederken kı uygulanan surtunmedır ;

Net sürtünme kuvvetı dinamık surtunmeden kucuk, statıkten buyuktur

soruda zaten kucuk cısmın durdugu veya durması ıcın gereken şeyler verılmış, çözüm denklemdır eşitsizlik degil, bilmem belki  de yanılıyorum ama araştırmalarım bu yönde.

---

Daima $\mu_s>\mu_k$ değil mi? O halde nasıl "Net sürtünme kuvvetı dinamık surtunmeden kucuk, statıkten buyuktur." diyebiliyoruz?

Şöyle bir durum da var: Biz öyle bir kuvvet uygularız ki, sürtünme kuvvetine gerek kalmadan sadece eylemsizlikle cismi araç üzerinde tutabiliriz. Bazen de bu kuvvetten küçük bir kuvvet uygularız, $f_s$ kuvveti yukarı yönde etki edip cismi dengeler. Böyle düşünürsek aralık şart.

Answer 2

Öncelikle, $m_1$ kütleli cisim ve $m_2$ kütleli aracın $F$ kuvvetinin etkisiyle, cisim aracın üzerinde kaymadan $a$ ivmesiyle hareket ettiğini düşünelim. O halde kolayca
$F=(m_1+m_2)a$ diyebiliriz.
Ardından cisim için "free body" uygulayıp önce yataydaki kuvvet-ivme denklemini yazalım.
$N\sin\theta+f_s\cos\theta=m_1 a$
Dikeydeki denklemi yazacak olursak, dikeydeki ivme $0$ olduğundan
$m_1g+f_s\sin\theta-N\cos\theta=0$
olacaktır. Son olarak aracın yataydaki hareketinin denklemini yazarsak
$F-f_s\cos\theta-N\sin\theta=m_2a$
denklemlerini elde ederiz. Buradaki üç denklem,  ve az sonra vereceğimiz sürtünme eşitsizliği asıl kısmı oluşturacak. Örneğin ilk verdiğimiz denklemi de pekala bu üç denklemin $1.$ ve $3.$'sünden rahatlıkla elde edebilirdik. Şimdi bu denklemlerden neler çıkarabileceğimize bakalım.
$2.$ denklemden
$m_1g+f_s\sin\theta-N\cos\theta=0 \\ \Rightarrow f_s=\frac{N\cos\theta-m_1g}{\sin\theta}$
bulabileceğimiz açık. Aynı zamanda $1.$ denklemden
$N\sin\theta+f_s\cos\theta=m_1 a \\ \Rightarrow f_s=\frac{m_1a-N\sin\theta}{\cos\theta}$
da bulabiliriz. O halde
$f_s=\frac{N\cos\theta-m_1g}{\sin\theta}=\frac{m_1a-N\sin\theta}{\cos\theta}$
eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlik şimdilik kenarda dursun, biz sürtünme eşitsizliğini verelim.
Sürtünmeli iki yüzey arasındaki sürtünme kuvveti daima
$-N\mu_s\leq f_s \leq N\mu_s$
kapalı aralığında olacağından ve
$f_s=\frac{N\cos\theta-m_1g}{\sin\theta}$ olduğundan en son eşitsizlik
$-N\mu_s\leq \frac{N\cos\theta-m_1g}{\sin\theta} \leq N\mu_s \\ \Rightarrow -N\mu_s\sin\theta\leq N\cos\theta-m_1g \leq N\mu_s\sin\theta\\ \Rightarrow N\cos\theta+N\mu_s\sin\theta\geq m_1g \\ \ \ \ \ \ N\cos\theta-N\mu_s\sin\theta \leq m_1g$
iki yeni eşitsizliği elde etmemizi sağladı. Buradan $N$'nin aralığını rahatlıkla bulabiliriz, fakat başta bizden istenen şey $N$ değil $F$'in aralığıydı. O halde $N$'i $F$ cinsinden yazıp yolumuza devam edelim.
İlk olarak
$\frac{N\cos\theta-m_1g}{\sin\theta}=\frac{m_1a-N\sin\theta}{\cos\theta}\\ \Rightarrow N=m_1(g\cos\theta+a\sin\theta)$
şeklinde $N$'yi $a$ cinsinden yazdıktan sonra
$F=(m_1+m_2)a$
eşitliğini kullanarak
$N=m_1(g\cos\theta+\frac{F\sin\theta}{m_1+m_2})$
olduğunu buluruz. Artık elimizdeki bu değerli bilgiyle eşitsizliklere bitirici vuruşu yapabiliriz!?
$m_1(g\cos\theta+\frac{F\sin\theta}{m_1+m_2})(\cos\theta+\mu_s\sin\theta)\geq m_1g \\ \Rightarrow g\cos\theta+\frac{F\sin\theta}{m_1+m_2} \geq \frac{g}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta} \\ \Rightarrow \frac{F\sin\theta}{m_1+m_2} \geq \frac{g(1-\cos^2\theta-\mu_s\sin\theta\cos\theta)}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta} \\ \Rightarrow F \geq \frac{g(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}$

Şimdilik bu eşitsizlikte bir sorun yok. Asıl sorun diğer eşitsizlikte...

$m_1(g\cos\theta+\frac{F\sin\theta}{m_1+m_2})(\cos\theta-\mu_s\sin\theta)\leq m_1g \\ \Rightarrow g\cos\theta+\frac{F\sin\theta}{m_1+m_2} \leq \frac{g}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}$

Bunu $\mu_s<\cot\theta$ varsayımıyla yaptık. Diğer durumlara birazdan değineceğiz.

$\Rightarrow \frac{F\sin\theta}{m_1+m_2} \leq \frac{g(1-\cos^2\theta+\mu_s\sin\theta\cos\theta)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta} \\ \Rightarrow F \leq \frac{g(\sin\theta+\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}$

Eşitsizliğini elde ettik. Peki ya $\mu_s>\cot\theta$ olsaydı? Bu mümkün. O durumda eşitsizlik yön değiştireceğinden

$F \geq \frac{g(\sin\theta+\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}$

olacaktı. Diğer bir durum olan $\mu_s=\cot\theta$ durumunda ise

$m_1(g\cos\theta+\frac{F\sin\theta}{m_1+m_2})(\cos\theta-\mu_s\sin\theta)\leq m_1g \\ \Rightarrow 0\leq m_1g$

olacağından $F$ değeri her reel sayı değerini alabilecekti. (Sadece bu eşitsizliğe bakarak bunu söyledik.)

Artık koşulları ve getirdikleri durumları öğrendiğimize göre, eşitsizlikleri birleştirerek, bazı sonuçlara varabileceğiz.

Öncelikle $\mu_s<\cot\theta$ olduğu durumu ele alalım.

$F \geq \frac{g(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}\\ F \leq \frac{g(\sin\theta+\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta} \\ \Rightarrow \frac{g(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta} \leq F \leq \frac{g(\sin\theta+\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}$

Her ne kadar sorun yok gibi görünse de, $\mu_s>\tan\theta$ olduğu takdirde alt sınır negatif oluyor. Bu da demek ki; eğer arabayı itmek yerine çekseydik de, elbette belli bir sınıra kadar, cisim aracın üzerinde kaymadan hareket etmeye devam edecekti. (Hala araba üzerinde olduğunu yukarıdaki $N$ eşitsizliğinin her zaman pozitif olmasından anlayabiliriz.) Bu durum bana kalırsa açık bir tutarsızlık, 1. tutarsızlık...

Devamında $\mu_s>\cot\theta$ durumunu inceleyelim.

$F \geq \frac{g(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}\\ F \geq \frac{g(\sin\theta+\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}$

İki adet eşitsizliğimiz, haliyle iki adet de alt sınırımız var. Peki bunlardan hangisi gerçekten alt sınır, ya da hangi durumlarda hangisini alt sınır alıyoruz? İki alt sınırı mukayese edelim.

$\frac{g(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}\geq \frac{g(\sin\theta+\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}\\ \Rightarrow \frac{\sin\theta-\mu_s\cos\theta}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}\geq \frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta} \\ \Rightarrow (\sin\theta-\mu_s\cos\theta)(\cos\theta-\mu_s\sin\theta)\leq (\sin\theta+\mu_s\cos\theta)(\cos\theta+\mu_s\sin\theta) \\ \Rightarrow \sin\theta\cos\theta(1+\mu_s^2)-\mu_s(\sin^2\theta+\cos^2\theta) \leq \sin\theta\cos\theta(1+\mu_s^2)+\mu_s(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\ \Rightarrow \mu_s\geq 0$

Zaten her zaman $0<\mu_s<1$ olduğundan, başta verdiğimiz eşitsizlik her zaman doğrudur. O halde $\mu_s \geq \cot\theta$ durumu için

$F \geq \frac{g(\sin\theta-\mu_s\cos\theta)(m_1+m_2)}{\cos\theta+\mu_s\sin\theta}$

olacaktır. Burada $\mu_s > \cot\theta$ ve $\mu_s = \cot\theta$ durumlarını birleştirdik. Çünkü iki durumda da alt sınırlar aynı.

Burada negatif alt sınırın bahsini açmamıza gerek yok. Zira aynı anda $\mu_s \geq \cot\theta$ ve $\mu_s > \tan\theta$ olması mümkün değil.

Buradaki tutarsızlık ise üst sınırın olmayışı. Bu demektir ki; biz ne kadar kuvvetli itersek itelim, ne kadar hızlandırırsak hızlandıralım, cismin aracın üstünden uçup gitmesini sağlayamayız demek. Bu da 2. tutarsızlık.

Soruyu her ne kadar çözmüş gibi görünsem de, bu tutarsızlıkları inceleme sorusunu size bırakıyorum. Yani, soruya soruyla cevap vermekle kalmadım, soruya 2 soruyla cevap verdim :)