$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$ ve $f(a)=f^{-1}(a)$ olduğuna göre a kaçtır ?

Question

Bir çok şey denedim ama bi türlü bulamadım.Küplü bir fonksiyonun tersini almayı da göstermiyorlar nasıl çözeceğiz ters almadan bulamadım.

Answer 1

Önce; $f$ nin bir tersi var (kontrol edin). 

$f(x)=(x-1)^3+x$ şeklindedir.

$f(a)=f^{-1}(a)$ olması, $f(f(a))=a$ olması demektir. Bu da, $a$ nın, $f(f(x))=x$ denkleminin bir kökü olması demektir.

$f(f(x))=(f(x)-1)^3+f(x)=((x-1)^3+x-1)^3+((x-1)^3+x)=x$, $x$ ler kısaltılınca,

$((x-1)^3+x-1)^3=-(x-1)^3$  olur. Küp köklerini alalım:

$(x-1)^3+x-1=-(x-1)$ yani $(x-1)^3+2(x-1)=0$ olur.Bu denklemin tek gerçel kökü $x=1$  dir

Answer 2

Ters ve normal fonksiyonlar bir $a$ noktasında eşitse, $f(a)=a$ diyebiliriz sanırım çünki, bu 2 fonksiyon birbirine $x=y$'ye göre simetriktir, eğer bunlar bir $a$ noktasında kesişiyorsa o zaman $y=x$ üzerinde kesişirler dolayısıyla, $f(a)=a=a^3-3a^3+4a-1\quad\to\quad (a-1)^3=0$

Yani,$a=1$ 

Comments

Bu dediğiniz her zaman geçerli midir? yani $f(a)=f^{-1}(a)$ ise $f(a)=a$'dır demek? Belki $f(a)=b$ ve $f^{-1}(a)=b$ olarak farklı bir $b$'ye gidiyorlar, mümkün değil midir?

---

Tanımlı ve sürekli bir $a$ için $f(a)=f^{-1}(a)$ diyebiliyorsak , zaten bunların grafiklerini cizdigimizde, $x=y$,ve 2 grafiğin oluşturdugu bir teğet $a$'noktasını görürüz.Dolayısıyla evet geçerlidir.