moduler aritmetik

Question

2x+√5 =9 (mod 11)

denkligini saglayan x dogal sayisinin en kucuk iki degerinin toplami kactir?

A)9

B)15

C)19

D)23

E)27

Cevabi 8 ve 19 un toplami 27 buluyorum, Cevaba A demis. 

Soru mu hatali benim kacirdigim bir sey mi var? Yardimci olursanz sevinirim..

√5 (kök icinde 5)

Comments

2x+$\sqrt{5}$= kaç mod 11?

---

Oops 9 mus :))

Answer 1

Öncelikle   $mod11$'  de $\sqrt5$ neye eşit olduğunu bulmaya çalışalım.

$0.0=0\rightarrow \sqrt0=0$

$1.1=1\rightarrow \sqrt1=1$

$2.2=4\rightarrow \sqrt4=2$

$3.3=9\rightarrow \sqrt9=3$

$4.4=5\rightarrow \sqrt5=4$

$5.5=3\rightarrow \sqrt3=5$

$6.6=3\rightarrow \sqrt3=6$

$7.7=5\rightarrow \sqrt5=7$

$8.8=9\rightarrow \sqrt9=8$

$9.9=4\rightarrow \sqrt4=9$

$10.10=1\rightarrow \sqrt1=10$ olmaktadır. Demek ki bu mod'da karekökü olan sayılar (kokun içindekiler) $\{0,1,3,4,5,9\}$ ve karekökü olmayanlar $\{2,6,7,8,10\}$ dir. Ayrıca bazı sayıların kare kökü iki farklı değerdir. Örneğin $\sqrt5=4,\sqrt5=7$ dir. Buna göre bize verilen denklem,

$2x+4\equiv9(mod11)..........(1)$ ve 

$2x+7\equiv9(mod11)..........(2)$ denkliklerinin çözümü yapılmalıdır. 

$(1).$ nin çözümünden: $$2x+4=11.k+9,\quad k\in Z$$

$$x\in\{...,-14,-3,8,19,...\}$$

$(2).$ nin çözümünden: $$2x+7=11.k+9,\quad k\in Z$$ ,

$$x\in\{...-21,-10,1,12,23,...\}$$

 istenilen $$1+8=9$$ dır.