Önce OBEB(55,10)=? sorusuna cevap verelim. Sanıyorum bunu ilk okulda öğrendiğimiz yolla (yani iki sayıyı yan yana yazıp sağa bir dikey çizgi çekip, ortak asal bölenleri işaretleyip sonra bunları çarparak ) bulabiliriz. Aslında aynı kapıya çıkan Öklid algoritması(bölme algoritması) yolu ile de yapıldığını biliyoruz. Biz ikincisi tercih edelim.
Diyelim ki cevabını aradığımız OBEB(55,10)=a olsun. Bir defa bu a∈Z+ dır. Yani a sayısı 55'i ve 10'u bölen en büyük tam sayıdır. O zaman OBEB(10+10+10+10+10+5,10)=a olduğundan, ve a sayısı 10'u tam böldüğünden 5'i de tam bölmelik ki 55'i de bölsün. Demek ki OBEB(55,10)=OBEB(55−5.10,10)=OBEB(5,10)=a olmak zorundadır. Benzer olarak bu seferde OBEB(5,10−2.5)=OBEB(5,0)=a olacaktır. Demek ki OBEB(55,10)=5 dir.Yani büyük olan sayının içinde küçük olan sayı kaç kez varsa onu atıyoruz kalan da bölünmeli mantığı ile hareket ediyoruz.
Bu yaklaşımı anladığını umuyorum. Şimdi bu yaklaşımı sizin soruya uygulayalım.
7n−56n−5 kesri sadeleşebilir ise, 7n−5 ile 6n−5 sayılarını ortak bölen sayılar var demektir. Hatta bu bölenlerin bir de en büyüğü vardır. Kesrin sadeleştiği sayıların,OBEB olan sayının tam bölenleri olduğunu unutmamalıyız. Şimdi yukardaki yöntemle OBEB'i bulalım.
OBEB(7n−5,6n−5)=OBEB(7n−5−(6n−5),6n−5)=OBEB(n,6n−5)=OBEB(n,6n−(6n−5))=OBEB(n,5)=5 olduğunda n=5.k,k∈Z+ olmalıdır. Dolayısıyla n∈{5,10,15,20,25,30,35,40,45,50} olmalıdır.