x , y ve z ${R^+}$ olmak üzere $\sqrt{x}. \sqrt{y} . \sqrt{z} $ rasyonel bir sayıdır. Buna göre , hangileri rasyoneldir?

Question

I . $ \sqrt { x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} $ 

II. $\frac { \sqrt{x.y} } { \sqrt{z}}$ 

III. $ x.y.z \sqrt{x.y.z}$ 

bu arada soruda '' hangisi kesinlikle rasyoneldir? '' diyor.

Çözüm için şunları yaptım demeyi çok isterdim. Maalesef bir süre bakıştık kendisiyle. 

Comments

$a,b$ pozitif tam sayi olmak uzere $xyz=\left(\frac{a}{b}\right)^2$ olmali.

Buradan $3$ kesinlikle dogru olur. $1,2$ icin de ters ornek bulabilirsin.  $(x,y,z)=(2,\sqrt2,\sqrt2)$ gibi.

---

@Sercan a ve b tam sayılarının ikisi birden negatif olduğunda da sağlanmaz mı? Yani a,b $\in\mathbb{Z^+}$ demek yerine a.b $\in\mathbb{Z^+}$ genelini kullanamaz mıyız?

---

1.ifade için kesin doğru diyemeyiz o zaman irrasyonel de olabiliyor. 

2 ifade için örnekteki sayıları kullanırsak  $\frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt2}}$ = $\sqrt \frac{2\sqrt2}{\sqrt2}$ =$\sqrt{2}$ gelmiyor mu? bu durumda 2 doğru olmuyor sanırım. Ya da yanlış işlem yapmış olabilirim , sanırım 

---

@Sahmeran, $\sqrt2$ irasyoneldir.
@Merve,  $ab \in \mathbb Z$ alabiliriz. Fakat secenegi azaltmak daha iyi gibi, $1/2=(-1)/(-2)$ olur. Iki durumu da incelememize gerek yok aslinda.

Genelde su kabul de yapilabilir. $(a,b)=1$, yani aralarinda asal olani aliriz. $1/2=2/4=\cdot$ bunlardan sadece ilkini aliriz.

Bilidigin uzere $\sqrt 2=a/b$ olarak kabul ettigimizde, ispati yaparken $(a,b)=1$ olarak almamiz ispati bize veriyor.

Tekrar basa donersek, burada dedigin gibi almamizda hicbir sankinca yok, ikimiz de dogru ifade kullanmis oluyoruz.

---

Ben hala 2.öncül için yorum yapamıyorum. tam anlayamadım o kısmı 

---

@Sercan soruda verilen x,y,z $\in\mathbb{R^+}$ ile ilgisi var mı diye düşündüm ama yokmuş, anladım. Detaylı açıklama için teşekkürler.

---

@Sahmerah, ikinci onculde verdigimiz ornegin sonucu $\sqrt2$ cikti, bu da irasyonel bir sayi, bu nedenle her zaman rasyonel olmuyormus sonucunu cikartmaliyiz. 

---

Cevapta onu da doğru kabul etmiş :/

---

Eger $x,y,z \in \mathbb R^+$ degil de $\in \mathbb Q^+$ ya da $\in \mathbb Z^+$ olsa ikincisi de dogru olur ama genel gercel sayilar icin dogru degil, gosterdigimiz uzere. 

---

Anladım. Teşekkürler cevap için ^^