Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
6 beğenilme 0 beğenilmeme
1.9k kez görüntülendi

euler-$$\zeta(2)  :=  \displaystyle \sum^\infty_{n=1}\dfrac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$$Bunun hakkında birden fazla kanıt mevcut ve bende bu kanıtları hem tartışmak hem de toplamak için böyle bir konu açtım. İlerleyen zamanlarda ekliyor olucam sizlerde eklerseniz sevinirim.

Lisans Matematik kategorisinde (71 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.9k kez görüntülendi

ortadakı denklemde hata var

Haklısın sağol.

Matematiksel kismi (kod olarak) duzenledim biraz. 

Sercan hocam  teşekkürler.

Sitedeki en verimli sorulardan bir tanesi olabilir. 

6 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Bir de şu var (Galiba bu da Euler e atfediliyor) :

$\displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$ olduğu için

$\displaystyle\frac{\sin x}x=1-\frac{x^2}6+\frac{x^4}{120}+\cdots$

$\displaystyle\frac{\sin \sqrt x}{\sqrt x}=1-\frac{x}6+\frac{x^2}{120}+\cdots$

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ polinomu için ($a_0\neq0$ ise) $\frac1{x_1}+\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}=-\frac{a_1}{a_0}$ olur.

 $\displaystyle\frac{\sin \sqrt x}{\sqrt x}$ "polinom"unun kökleri $n^2\pi^2\ (n\in\mathbb{N}^+)$ olduğu için köklerinin terslerinin toplamı

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2\pi^2}=\frac16$ olur. Buradan da 

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$ elde edilir.


(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

çok iyi.       

hocam şüphesiz olarak, sinx'in tüm köklerinin $n\pi,\quad n\in \mathbb Z$'ler oldugundan emın olabılır mıyız?

$\sin$ ve $\cos$ fonksiyonların, (birim çember etrafına)"sarma" fonksiyonu ile tanımlarsak, $\sin$ fonksiyonun en küçük pozitif kökünün $\pi$ olduğu kolayca görülür. 

Galiba A. Nesin Analiz I kitabında ve Spivak ın (TMV tarafında tercüme edilen) "Calculus" kitabında da böyle tanımlanıyor

($\sin0=0$ ve ) $2\pi$ periyotlu periyodik oluşundan $\sin x=0 \Leftrightarrow x=n\pi\ (n\in\mathbb{Z})$ olur.

Bu önerme karmaşık (kompleks) sayılarda da doğru kalır

anladım     

4 beğenilme 0 beğenilmeme

Euler ispat gostermeden sunu varsaydi:

$\sin(t)=t\left(1-\frac{t}{\pi}\right)\left(1+\frac{t}{\pi}\right)\left(1-\frac{t}{2\pi}\right)\left(1+\frac{t}{2\pi}\right)\left(1-\frac{t}{3\pi}\right)\left(1+\frac{t}{3\pi}\right)...$

Gerekce olarakta $\sin(t)$ fonksiyonunun kokleri $t=0,\mp\pi,\mp2\pi...$ ama bunlar ayni zamanda sag taraftaki polinomunda kokleriydi. Bunun dogrulugu 100 yil sonra Weierstrass tarafindan yapildi.


Iki kare farkindan sag taraf su hale gelir..

$\sin(t)=t\left(1-\frac{t^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{t^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{t^2}{3^2\pi^2}\right)...$

Euler sol tarfi Taylor serisine acti.

$t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\frac{t^7}{7!}+...=t\left(1-\frac{t^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{t^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{t^2}{3^2\pi^2}\right)...$

$t$ leri sadelestirip sag tarafi capti.

$1-\frac{t^2}{3!}+\frac{t^4}{5!}-\frac{t^6}{7!}+...=1-\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\frac{1}{3^2\pi^2}+\frac{1}{4^2\pi^2}+...\right)t^2+...$

Ve sonra $t^2$ lerin katsayilari ayni olmali dedi..


$-\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\frac{1}{3^2\pi^2}+\frac{1}{4^2\pi^2}+...\right)$

$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...$

$$\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$

Bunu gostererek 24 yasinda dunyaca taninan bir matematikci oldu. Euler bununla yetinmeyip diger cift zeta fonksiyonlarini da $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{26}}$ kadar olanlari hesapladi. Basel problemini 4 farkli sekilde ispatladi. Bu o ispatlardan biri..

(2.9k puan) tarafından 
3 beğenilme 0 beğenilmeme

$\looparrowright $   Kanıt 1 :

Öncelikle güzel bir yöntem olan Fourier serisi yöntemiyle çözmek gayet kolay ve iyi bir çözüm o yol ile kanıtlayalım.

         $f(x)=x^2$                     $-\pi\leq x \leq \pi$ aralığında Fourier serisine açalım 

$\frac{a_0}{2}+ \sum\limits^{\infty}_{n=1}(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))$ 

$f(x)=x^2$ çift fonksiyon olduğundan $sin(nx)$ in katsayısı olan $b_n$ sıfır olacaktır.Sadece $a_n,a_0$ hesaplamalıyız.


$a_n=\frac{1}{p} \Large \displaystyle \int_\limits{-p}^{p} \small f(x)cosnxdx$

$a_0=\frac{1}{p} \Large \displaystyle \int_\limits{-p}^{p} \small f(x)dx$

$f(x+2p)=f(x+2\pi)=f(x)$ periyodunu bulmak için integral sınırları şu şekilde olacaktır.

 $2\pi=2p$  ,  $ \pi=p$

$a_0=\frac{1}{\pi} \Large \displaystyle \int_\limits{-\pi}^{\pi} \small x^2dx=\frac{2}{\pi} \Large \displaystyle \int_\limits{0}^{\pi} \small x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$

$a_n=\frac{1}{\pi} \Large \displaystyle \int_\limits{-\pi}^{\pi} \small x^2cosnxdx=\frac{2}{\pi} \Large \displaystyle \int_\limits{0}^{\pi} \small x^2cosnxdx$

$\large \star$Kismi integrasyon hakkında kolay bir yöntem olarak özellikle Fourier serilerinde şunu kullanabiliriz.

$ \Large  \int \small x^2cosnxdx= \Large  \int \small f(x)h(x)dx=+f(x).\int h(x) - f'(x).\int \int h(x)+f''(x).\int \int \int h(x) - . . . .  $

$a_n=\frac{2}{\pi} \Large \displaystyle \int_\limits{0}^{\pi} \small x^2cosnxdx=\frac{2}{\pi}.\frac{2\pi}{n^2}.(-1)^n=(-1)^n \frac{4}{n^2}$

$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+ \sum\limits^{\infty}_{n=1}((-1)\frac{4}{n^2})cos(nx))$

$f(\pi)=\pi^2$

$\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+ 4 \sum\limits^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{n^2})(-1)^n (-1)^n$

$\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}$ 

Sonuç olarak şu hali alıyor eşitliğimiz;

$\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi^2}{12}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}$.

$\frac{\pi^2}{6}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}$

$\blacksquare$






(71 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

kanitlar karismasin diye ayri ayri da atabilirsiniz


Yine Fourier serileri ile:

$f(x)=x$ in Fourier serisi bulunup, Parseval in özdeşliği uygulanarak da gösterilebiliyor.

(Böyle gösterilişi: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem de var)

3 beğenilme 0 beğenilmeme

Euler'in 2. ispati:


$\sin(t)=t\left(1-\frac{t}{\pi}\right)\left(1+\frac{t}{\pi}\right)\left(1-\frac{t}{2\pi}\right)\left(1+\frac{t}{2\pi}\right)\left(1-\frac{t}{3\pi}\right)\left(1+\frac{t}{3\pi}\right)...$

$\sin(t)=t\left(1-\frac{t^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{t^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{t^2}{3^2\pi^2}\right)...$

Euler $t=\pi y$ degisimi yapti

$\sin(\pi y)=\pi y\left(1-y^2\right)\left(1-\frac{y^2}{2^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{3^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{4^2}\right)...$

$\sin(\pi y)=\pi y\left(1-y^2\right)\left(\frac{2^2-y^2}{2^2}\right)\left(\frac{3^2-y^2}{3^2}\right)\left(\frac{4^2-y^2}{4^2}\right)...$


Ama Euler'e capim degil toplam lazimdi. Carpmayi toplamaya cevirecek $\log$ fonksiyonunu kullandi. Her iki tarafin logaritmasini aldi..


$\log(\sin(\pi y))=\log(\pi )+\log( y)+\log\left(1-y^2\right)+\log(2^2-y^2)-\log({2^2})+\log(3^2-y^2)-\log(3^2)+\log(4^2-y^2)-\log(4^2)...$

Istedigi sayilar paydada olmasi gerekiyordu ve bir suru gereksiz sabit sayi vardi. Euler her iki tarafin turevini aldi.


$\frac{\pi\cos(\pi y)}{\sin(\pi y)}=\frac{1}{y}+\frac{-2y}{1-y^2}+\frac{-2y}{2^2-y^2}+\frac{-2y}{3^2-y^2}+\frac{-2y}{4^2-y^2}...$

Her iki tarafi $-2y$' ye boldu

$\frac{\pi\cos(\pi y)}{-2y\sin(\pi y)}=-\frac{1}{y^2}+\frac{1}{1-y^2}+\frac{1}{2^2-y^2}+\frac{1}{3^2-y^2}+\frac{1}{4^2-y^2}...$


$\frac{1}{y^2}-\frac{\pi\cos(\pi y)}{2y\sin(\pi y)}=\frac{1}{1-y^2}+\frac{1}{2^2-y^2}+\frac{1}{3^2-y^2}+\frac{1}{4^2-y^2}...$

Her  iki tarafin y sifira giderken limitini aldigimizda sag tarf istedigini verdi ama sol taraf $\infty-\infty$ belirsizligini verdi. Ilginctir

$\frac{2y\sin(\pi y)-y^2\pi\cos(\pi y)}{2y^3\sin(\pi y)}=\frac{1}{1-y^2}+\frac{1}{2^2-y^2}+\frac{1}{3^2-y^2}+\frac{1}{4^2-y^2}...$  yapip $\frac{0}{0}$ dan L'Hospital uygulamak yerine, Euler sunu yapti.


$y=ix$ donusumu yapti

$\frac{1}{y^2}-\frac{\pi\cos(\pi y)}{2y\sin(\pi y)}=\frac{1}{1-y^2}+\frac{1}{2^2-y^2}+\frac{1}{3^2-y^2}+\frac{1}{4^2-y^2}...$ ve sunu elde etti.

$\frac{1}{-x^2}-\frac{\pi\cos(\pi ix)}{2ix\sin(\pi ix)}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2^2+x^2}+\frac{1}{3^2+x^2}+\frac{1}{4^2+x^2}...$

$\cos(\pi ix)=\frac{e^{\pi x}+e^{-\pi x}}{2}$
$\sin(\pi ix)=i\frac{e^{\pi x}-e^{-\pi x}}{2}$  degerlerini yerine koydu

$\frac{1}{-x^2}-\frac{\pi\frac{e^{\pi x}+e^{-\pi x}}{2}}{2ix i\frac{e^{\pi x}-e^{-\pi x}}{2}}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2^2+x^2}+\frac{1}{3^2+x^2}+\frac{1}{4^2+x^2}...$

$\frac{1}{-x^2}+\frac{\pi (e^{\pi x}+e^{-\pi x})}{2x( e^{\pi x}-e^{-\pi x})}=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2^2+x^2}+\frac{1}{3^2+x^2}+\frac{1}{4^2+x^2}...$

x sifira giderken limit aldi ve sol tarafa tam 3 defa L'Hospial uygulayarak

$$\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}...$$ oldugunu gosterdi..
(2.9k puan) tarafından 

mesela bu ve diger cevapta yapti ve dusundu gibi yorumlar cok hosuma gitti acaba eulerin teoremlerini ispatlarken kullandigi yorumlu bir ispat kaynagi var mi,  bu yorumlari siz mi kattiniz?

3 beğenilme 0 beğenilmeme

$\looparrowright $ Kanıt 2 :

$\frac{1}{n^2}=\Large \displaystyle \int_\limits{0}^{1} \int_\limits{0}^{1} \small x^{n-1}y^{n-1} dxdy $

Monoton yakınsaklık teoreminden şunu elde ederiz;

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\Large \displaystyle \int_\limits{0}^{1} \int_\limits{0}^{1}  \lgroup \small \sum\limits_{n=1}^{\infty} (xy)^{n-1} \Large \displaystyle  \rgroup \small  dxdy $

$= \Large \displaystyle \int_\limits{0}^{1} \int_\limits{0}^{1} \small  \frac{dxdy}{1-xy} $

Şimdi ise değişken dönüşümü yapılır ise;

$(u,v)=(\frac{x+y}{2} , \frac{y-x}{2})$

$(x,y)=(u-v,u+v)$ Bundan dolayı ;

$\zeta(2)=2\Large \displaystyle \iint_{S} \small \frac {dudv}{1-u^2-v^2}$

$S$'nin köşeleri $(0,0),(\frac1{2},-\frac1{2}),(1,0),(\frac1{2},\frac1{2})$

$\zeta(2)=4\Large \displaystyle \int_{0}^{\frac1{2}}  \int_{0}^{u} \small \frac {dudv}{1-u^2-v^2}+4\Large \displaystyle \int_\limits{\frac1{2}}^{1} \int_\limits{0}^{1-u} \small  \frac{dudv}{1-u^2-v^2}$

$=4\Large \displaystyle \int_\limits{0}^{\frac1{2}} \small \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}tan^{-1} \lgroup \frac{u}{\sqrt{1-u^2}} \rgroup du  + 4\Large \displaystyle \int_\limits{\frac1{2}}^{1} \small \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}tan^{-1} \lgroup \frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}} \rgroup du $

Şimdi ise $tan^{-1} \lgroup  \frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}} \rgroup=sin^{-1}u$

Eğer $\Theta = tan^{-1} \lgroup \frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}} \rgroup  $

Sonra $tan^2 \Theta = \frac{1-u}{1+u}$

$sec^2 \Theta=\frac{2}{1+u}$

Şu şekilde ifade edilir. 

$u=2cos^2\Theta - 1= cos2\Theta $ , $\Theta =\frac1{2}cos^{-1}u=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}sin^{-1}u$

Bundan dolayı ;


$\zeta(2)= \Large \displaystyle 4\int_\limits{0}^{\frac1{2}}\small \frac {sin^{-1}u}{\sqrt{1-u^2}}du+ \Large \displaystyle 4\int_\limits{\frac1{2}}^{1}\small \frac {1}{\sqrt{1-u^2}}du \lgroup \frac{\pi}{4}- \frac{sin^{-1}}{2}du$

$=[ \small 2(sin^{-1}u)^2 ]_{0}^{\frac1{2}}+[\pi sin^{-1}u - (sin^{-1})^2]_\frac1{2}^1$

$=\frac {\pi^2}{18}+\frac{\pi^2}{2}-\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{36}$

$=\frac{\pi^2}{6}.$


$\star$ Bu kanıtın sahibi Tom Mike Apostol 


(71 puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Eulerin diğer kanıtı : (Euler's other Proof )


$\frac{\pi^2}{6}=\frac{4}{3} \frac{(arcsin1) ^2}{2}=\frac{4}{3} \int_\limits{0}^{1} \frac{arcsinx}{\sqrt{1-x^2}}dx$


$=\frac{4}{3}\int_\limits{0}^{1} \frac{x+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\large \ 1 \cdot 3 \cdot\cdot\cdot\cdot(2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot\cdot\cdot\cdot2n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx$



$=\frac{4}{3}\int_\limits{0}^{1}  \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx + \frac{4}{3} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4\cdot \cdot \cdot \cdot (2n-1) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdot \cdot \cdot2n(2n+1)} \int\limits_{0}^{1}x^{2n} \frac {x}{\sqrt{1-x^2}}dx$



$= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot \cdot(2n-1)}{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot\cdot\cdot\cdot 2n(2n+1)} \Large\displaystyle \ [ \small\frac{2n(2n-2) \cdot  \cdot  \cdot \cdot 4  \cdot2}{(2n+1)(2n-1)  \cdot \cdot \cdot \cdot 3 \cdot1} \Large\displaystyle \ ]$,



$=\frac{4}{3}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}= ( \small \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}- \frac1{4}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}  ) \small =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} .$

 



Gerald Kımble

(71 puan) tarafından 
20,280 soru
21,813 cevap
73,492 yorum
2,481,469 kullanıcı