ikizkenar üçgen

Question

ABC bir üçgen 

$\left| AB\right|$ = $\left| AC\right|$

m$\left( \begin{matrix} \wedge \\ CBD\end{matrix} \right)$ = 30                           m$\left( \begin{matrix} \wedge \\ ACD\end{matrix} \right)$ =24              m$\left( \begin{matrix} \wedge \\ BCD\end{matrix} \right)$ = 18

ise m$\left( \begin{matrix} \wedge \\ DAC \end{matrix} \right)$ =x kaç derecedir?

Comments

Sayın atolga, çözüm için siz neler düşündünüz?

---

ABD açısı 12 

AD yi uzattım içerideki ucgenleri düşündüm dışarıda bir üçgen baktım fakat bulamadım

3 geometri hocasına gösterdim 10 ar dk uğraştılar fakat onlar da bulamadılar 

---

Hocam gerçekten çok mükemmel çözmüşsünüz çok teşekkürler

---

Önemli değil. Kolay gelsin.

Answer 1

Seva teoreminin trigonometrik uygulaması:

$\frac{sinx}{sin(96-x)}.\frac{sin12}{sin30}.\frac{sin18}{sin24}=1\Rightarrow sinx.sin12.sin18=sin(96-x).sin30.sin24$ olur. Buradan,

$sinx.sin12.sin18=sin(96-x).\frac 12.2.sin12.cos12\Rightarrow sinx.sin18=sin(96-x).cos12\Rightarrow x=78$ olur. 

Answer 2

Mehmet Hocamın verdiği trigonometrik çözüme ilaveten bir de sentetik çözüm verelim. Üçgenin AH yüksekliğini çizin.  Bu yükseklik simetri ekseni olduğundan BF=FC olur. Bu durumda

AFC ve DFC üçgenlerinin açıları eşit ve FC ortak kenarına sahip olduklarından AFC üçgeni DFC 

üçgenine eştir. O zaman AF=DF ve <AFD=120 olduğundan <DAF=30 ve sonuç olarak x=30+48=78

bulunur.

Answer 3

Ben de iki farklı çözüm vereyim, $m(\widehat{DBA})=12^\circ$ olduğu barizdir. $B,D,Q$ noktaları doğrusal olacak şekilde ve $|AQ|=|BQ|$ şartını sağlayan bir $AQB$ üçgeni oluşturulur, bu üçgen ikizkenar olacağı için $m(\widehat{AQB})=12^\circ$'dir ve $m(\widehat{BAQ})=156^\circ$ olmalıdır. $m(\widehat{BAC})=96^\circ$ olacağı için $m(\widehat{CAQ})=60^\circ$ olur ve $C$ ile $Q$ tamamlandığında $ACQ$ eşkenar üçgeni oluşturulur. $m(\widehat{DQC})=48^\circ$'dir ve $m(\widehat{CDQ})=48^\circ$ olduğundan $|DC|=|QC|=|AC|(!)$ olur. $ADC$ ikizkenardır ve $x$ bulunur...

Answer 4

İkinci çözümümde de: $Q$,  $|BC|$'nin altında olmak üzere $|AQ|=|AB|$ ve $m(\widehat{BAQ})=60^\circ$ olacak şekilde bir nokta olsun. $AQB$ eşkenardır ve $m(\widehat{QAC})=36^\circ$ olur. $|QA|=|AB|$ olduğundan $m(\widehat{AQC})=m(\widehat{ACQ})=72^\circ$ olur.

$$QCB=BDC\Rightarrow |DC|=|BQ|=|AC|(!)$$ ve buradan $x$ bulunur...