Modüler Aritmetik

Question

$1^{2017}+3^{2017}+...+...101^{2017}$ ifadesinin $17$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$101=-1(mod17)$ olduğundan sondan itibaren terimlerin sürekli birbirini götüreceğini ve en sona ($a$,ortanca terim olmak üzere) $a^{2017}$'nin kalacağını gördüm.Fakat bu sayı dizisinde ortanca terime ulaştığımda (ortanca terim $51$ olmakta) görüyorum ki en sona

$51^{2017}=x(mod17)$ kalıyor. Sonucun buradan $0$ gelmesi gerektiğini düşünüyorum ama cevap $12$ imiş.

Comments

101 ile 17 aralarında asal. yani $101^{16}=1(mod17)$

0 çıkıyo 

---

Ben de 0 buldum.

---

101 ile 1 arasında ikişer ikişer artan 51 tane sayı var 50 tanesi giderse 1 tane kalıyo, muhtemelen o kalanı yanlış bulduk.

---

yok yok 51 kalıyor $53^{2017}=x(mod17)$ sayısı $+49$'u götürüyo 51 kalıyo bi tek

---

Zaten ardışık artan terimlerde ortancayı bulmak için Son terim+ilk terim/2 formülünü kullanabiliriz.

1 - 3 - 5 

ortancası 3 , 5+1/2 

1 - 3 - 5 - 7 - 9

ortanca 5, 1+9/2

gibi.Burada da 102/2=51 olmalı

---

merak ettim valla sercan hoca veya mehmet hoca'yı bekliyorum halen :D

Answer 1

Toplamdaki terim sayısı $(101-1)/2+1=51$ olup, tabanı $17$'nin tam katı olan $17^{2017},51^{2017},85^{2017}$ olan terimlerden kalan sıfır gelir. Geride kalan $48$ terimi $8$' lık $6$ kısım olarak düşünürsek;

$3(1^{2017}+2^{2017}+3^{2017}+4^{2017}+...+14^{2017}+15^{2017}+16^{2017})\equiv x(mod17)$ elde edilir. $3(1^{2017}+2^{2017}+3^{2017}+4^{2017}+...+8^{2017}+(-8)^{2017}+...+(-3)^{2017}+(-2)^{2017}+(-1)^{2017})\equiv x(mod17)$

$3.0\equiv x(mod 17)\Rightarrow x=0$ bulunur.

Comments

hocam o zaman ya soru yanlış yada cevap anahtarında problem var

---

Soru doğru. Sanıyorum cevabı yanlış verilmiş.