Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2k kez görüntülendi

x^x = 2(mod11) ise x'in en küçük değeri nedir?

x=6 ya kadar denedim ama bir yere varamadım yardımcı olur musunuz

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (19 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2k kez görüntülendi

Bu siteye girip asagidaki kodu calistirirsan 39 ve 73un sagladigini gorursun. Ben 100e kadar baktim, daha fazla da bakilabilir.

Soruyu tam metin olarak paylasabilir misin?



Kod:

for n:=1 to 100 do
n,(n^n-2) mod 11;
end for;

Soru tam olarak bu şekilde ama çözüm gerekiyor 

Soru "x=?" boyle mi bitiyor?

@koe1k, cozum ayri is. Kod diyor ki: bunun 1 ile 100 arasinda iki cozumu var. Tum dogal sayilarda daha fazladir muhtemelen. Soruda sorulan nedir? : $x$ degerini bulunuz? En kucuk $x$ degerini bulunuz? Tum $x$ degerlerini bulunuz? ...

Hocama sordum en küçük değerini istiyormuş düzelttim soruda.

Diger Turlu hatali/eksik cunku $$(x+110)^{x+110}\equiv x^x \mod 11.$$

cevaplar için teşekkürler anladım :)

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben bu soruyu $$n^n\equiv 2 \mod 13$$ icin cozup tum tam sayi cozumlerini verecegim. Bu sekilde genel cozumun de nasil yapilacagi hissedilir.

___________________________________________________________

1) Bu sistemin bir cozumu var ise sonsuz tane cozumu vardir:

Bunu gormek icin iki bilgi kullanacagiz: 


1a) $k$ bir tam sayi olmak uzere $$n+13k \equiv n \mod 13$$ saglanir.


1b) $n$ ile $13$ aralarinda asal olmak uzere $$n^{12}=1 \mod 13$$ saglanir. (Cunku $13$ asal bir sayi).

Dolayisi ile $$(n+12\cdot 13)^{n+12\cdot 13}$$ ilkinden dolayi $$n^{n+12\cdot13}$$ ifadesine ve ikincisinden dolayi $$n^n$$ ifadesine denk olur. Bu da bize bir cozum var ise sonsuz tane cozum olacagini verir. 

__________________________________________

2) $2^a \mod 13$ degerlerini inceleyelim. Sirasiyla $$2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1$$ olur. Dolayisiyla her $13$ ile arasinda asal bir $n$ icin $a\in \{1,\cdots,12\}$ vardir ki  $$n\equiv 2^a \mod 13 $$ olur. O zaman $$n^n \equiv (2^a)^n =2^{an} \equiv 2^1 \mod 13$$ icin cozum bulmaya calisalim.

______________________________

3) $2^a$ dedigiklerimiz $\mod 13$ icerisinde periodu $12$ olan bir dizi..  Dolayisi ile $$an \equiv 1 \mod 12$$ olmali. 

________________________________

4) Demek ki $a$ ile $12$ arasinda asal olmali. Bu da bize $$a\in \{1,5,7,11\}$$ olmasi gerektigini soyler. 

________________________________

5) Bu $a$ degerine karsilik gelen $n$ degerleri (2. maddeye bakiniz)

$a=1$ ise $n\equiv 2^1\equiv 2 \mod 13$
$a=5$ ise $n\equiv 2^5\equiv 6 \mod 13$
$a=7$ ise $n\equiv 2^7\equiv 11 \mod 13$
$a=11$ ise $n\equiv 2^{11}\equiv 7 \mod 13$

olur....

__________________

6) (3. maddede) $$an \equiv 1 \mod 12$$ olmali demistik. (5. madde ile) 

$a=1$ ise $an\equiv 1\cdot(2+13k) \equiv 2+k \mod 12$
$a=5$ ise $an\equiv 5\cdot(6+13k) \equiv 6+5k \mod 12$
$a=7$ ise $an\equiv 7\cdot(11+13k)\equiv 5+7k \mod 12$
$a=11$ ise $an\equiv 11\cdot(7+13k)\equiv 5+11k \mod 12$

___________________________

7) Sonuclarin $1$'e denk olmasini istedigimizden 

$a=1$ ise $k\equiv 11 \mod 12$
$a=5$ ise $k\equiv 11\mod 12$
$a=7$ ise $k\equiv 8\mod 12$
$a=11$ ise $k\equiv 4 \mod 12$

_______________________________

8) Dolayisi ile

$a=1$ ise $n\in \{2+13(11+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{145+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=5$ ise $n\in \{6+13(11+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{149+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=7$ ise $n\in \{11+13(8+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{115+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=11$ ise $n\in \{7+13(4+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{59+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$

olur ve birlesimleri tum cozumleri verir. 

(25.4k puan) tarafından 
20,217 soru
21,750 cevap
73,349 yorum
1,976,771 kullanıcı