Ben bu soruyu nn≡2mod13 icin cozup tum tam sayi cozumlerini verecegim. Bu sekilde genel cozumun de nasil yapilacagi hissedilir.
___________________________________________________________
1) Bu sistemin bir cozumu var ise sonsuz tane cozumu vardir:
Bunu gormek icin iki bilgi kullanacagiz:
1a) k bir tam sayi olmak uzere n+13k≡nmod13 saglanir.
1b) n ile 13 aralarinda asal olmak uzere n12=1mod13 saglanir. (Cunku 13 asal bir sayi).
Dolayisi ile (n+12⋅13)n+12⋅13 ilkinden dolayi nn+12⋅13 ifadesine ve ikincisinden dolayi nn ifadesine denk olur. Bu da bize bir cozum var ise sonsuz tane cozum olacagini verir.
__________________________________________
2) 2amod13 degerlerini inceleyelim. Sirasiyla 2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1 olur. Dolayisiyla her 13 ile arasinda asal bir n icin a∈{1,⋯,12} vardir ki n≡2amod13 olur. O zaman nn≡(2a)n=2an≡21mod13 icin cozum bulmaya calisalim.
______________________________
3) 2a dedigiklerimiz mod13 icerisinde periodu 12 olan bir dizi.. Dolayisi ile an≡1mod12 olmali.
________________________________
4) Demek ki a ile 12 arasinda asal olmali. Bu da bize a∈{1,5,7,11} olmasi gerektigini soyler.
________________________________
5) Bu a degerine karsilik gelen n degerleri (2. maddeye bakiniz)
a=1 ise n≡21≡2mod13
a=5 ise n≡25≡6mod13
a=7 ise n≡27≡11mod13
a=11 ise n≡211≡7mod13
olur....
__________________
6) (3. maddede) an≡1mod12 olmali demistik. (5. madde ile)
a=1 ise an≡1⋅(2+13k)≡2+kmod12
a=5 ise an≡5⋅(6+13k)≡6+5kmod12
a=7 ise an≡7⋅(11+13k)≡5+7kmod12
a=11 ise an≡11⋅(7+13k)≡5+11kmod12
___________________________
7) Sonuclarin 1'e denk olmasini istedigimizden
a=1 ise k≡11mod12
a=5 ise k≡11mod12
a=7 ise k≡8mod12
a=11 ise k≡4mod12
_______________________________
8) Dolayisi ile
a=1 ise n∈{2+13(11+12k)|k∈Z}={145+156k|k∈Z}
a=5 ise n∈{6+13(11+12k)|k∈Z}={149+156k|k∈Z}
a=7 ise n∈{11+13(8+12k)|k∈Z}={115+156k|k∈Z}
a=11 ise n∈{7+13(4+12k)|k∈Z}={59+156k|k∈Z}
olur ve birlesimleri tum cozumleri verir.