Modüler Aritmetik

Question

$29^{28}+30^{28}+...+90^{28}=x(mod29)$

ise $x$ kaçtır?

Bu soruda fermat teoremini uyguladım.

Toplamda $62$ terim var.$29^{28},58^{28},87^{28}$ terimleri $0$ kalanını veriyordu.

Bunları dışarı atınca $1$ kalanını veren $59$ adet terim oluştu.$59=1(mod29)$ olduğundan $x=1$'dir dedim.Cevap $4$'müş, çözümümde bir yanlışlık görmediğim den sormak istedim.

Comments

Ben de goremedim. Muhtemelen kisi diger uc sifiri da bir olarak hesaba katmis.

Answer 1

$p$ bir asal sayı,$a\in Z$ ve $OBEB(a,p)=1$  olmak üzere  $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ olan Fermat teoremine göre toplamın içindeki $90-29+1=62$ terimden, tabanı $29$'un tam katı olanlarda yani $ 29^{28},58^{28},87^{28}$ de kalan sıfırdır. Geride kalan $59$ terimin her birinin tabanı,$29$ asal olduğu için $29$ ile aralarında asal olup $1$ kalanı verir. O halde $29^{28}+30^{28}+...+90^{28}\equiv 59\equiv 1$ dir.