Modüler Aritmetik

Question

$15x^2+14x=5(mod11)$

denkliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3,9

B) 2,3

C)5,8

D)2,9

E)-3,6

ben bu eşitliği önce $4x^2+3x+=5(mod11)$ şeklinde yazdım.

Yani $4x^2+3x$ sayısı $11$ ile bölümünden $5$ kalanını veriyordu.Sonra $x$ parantezine alıp şıkları deneyerek çözüme ulaştım, fakat şıksız bir sınavda nasıl bir çözüm yolu izleyeceğimi bilemediğimden sormak istedim.

Comments

$3$ ile carpinca $x^2-2x+7=(x-1)^2+6=(x-1)^2-5$ olur. Karesi $5$ olan sayilari bulmak gerekir.

$5+11=16$ oldugundan  biri $4$ olur. Digeri de haliyle $-4=7$.

---

Teşekkür ederim Sercan hocam.

---

Hocam burada $(x-1)^2$ neden 49 olmuyor? sonuçta 49 da 11'e bölününce 5 kalanını veriyor

---

o da olur.. Zaten yukarida da biri $4$ digeri de $7$ dedik...

---

Gece sersemliğiyle farkedememişim ben x-1 yerine x'e 4 7 dediniz sandım teşekkürler.

Answer 1

Sercan'ın tam kare fikrinden hareketle bir genelleme yapmak mümkün. $p$ tek asal sayı olmak üzere kuadratik(karesel) denklik

$Ax^2+Bx+C=0(mod p)$ ise bu denkliği $4.A$ ile çarparsak $(2Ax+B)^2=(B^2-4AC)(mod p)$ şekline girer. Yani çözüm(ler), eğer varsa, $y=(2Ax+B) $ olmak üzere   $y^2=(B^2-4AC)(mod p) $ şeklinde olmalıdır.

Comments

Aaa referans olarak fikrim verilmis. Tesekkur ederim :) :) :)