Question

a,b,c pozitif tam sayılar olmak üzere a.b.c = 360 eşitliğini sağlayan kaç tane (a,b,c) sıralı üçlüsü vardır?

Comments

Sitede bu sorunun benzeri soru olduğunu biliyorum. Lütfen araştırır mısınız.

---

<p>
     Bu sorunun çözümünde tek tek değer vermeye başladım belki örüntü yakalarım diye fakat malesef :( 360 ın ptbs nı bulup o sayılardan gruplar yapmaya çalıştım fakat :( bir şey elde edemedim.<br>
</p>

Answer 1

$p_1,\cdots, p_r$  farkli asal sayilar ve $e_1,\cdots,e_r$  da pozitif tam sayilar olmak uzere

$$n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$$ olsun.

Soru: $n=a\cdot b \cdot c$ olacak sekilde kac farkli $(a,b,c)$ pozitif tam sayi uclusu vardir?

Cevap: $$\frac{(e_1+1)(e_1+2)}{2} \cdots \frac{(e_r+1)(e_r+2)}{2}.$$

Dikkat ettiyseniz sadece usler ile ilgisi var.

Ornek 1: $n=5$ olsun.

$a=5$ icin $b=1$ ve dolayisi ile $c=1$ (yani $b$ sayisi $5/5=1$'in bir tam boleni ve $c$ de bu bolene karsilik gelen sayi)

$a=1$ icin $b=5$ ve dolayisi ile $c=1$ ya da $b=1$ ve dolayisiyla $c=5$. (Burada da $5/1=5$'in bolenleri ile ilgilenmis olduk).

Toplamda $1+2$ yani $3$ tane uclu bulduk. Formule bakarsak $5=5^1$ oldugundan $$\frac{(1+1)(1+2)}2$$ gercekten de bu degere esit olur.

Cikarim 1: $n$ asal sayi olsun. Bu durumda $3$ tane bu sekilde iclu olur. $$(n,1,1), \;\; (1,n,1), \;\; (1,1,n).$$
Ornek 2: $n=6$ olsun.

$a=1$ icin $bc=6$  olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(1,1,6),\;\; (1,2,3),\;\; (1,3,2),\;\; (1,6,1).$$

$a=2$ icin $bc=3$  olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(2,1,3),\;\; (2,3,1).$$

$a=3$ icin $bc=2$  olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(3,1,2),\;\; (3,2,1).$$

$a=6$ icin $bc=1$  olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(6,1,1).$$

Toplamda $4+2+2+1=9$ tane uclu elde ettik ve $n=2^13^1$ oldugundan $$\frac{(1+1)(1+2)}{2}\frac{(1+1)(1+2)}2=3\cdot3=9$$ olur.


Yaptigimiz: $n$ sayisinin tum pozitif bolenlerinin pozitif bolen sayilarini bulup bunlari toplamak...

$n$ sayisinin pozitif bolenleri biricik sekilde $$p_1^{f_1}\cdots p_r^{f_r}$$ formlari ile eslesir, her $1\le i \le r$ icin $0 \le f_i \le e_r$. Bu sekilde bir formun pozitif bolenleri sayisi $$(f_1+1)\cdots (f_r+1)$$ olur. Biz bunlarin hepsini toplarsak $$\sum_{\begin{matrix} 1 \le i \le r \\ 0 \le f_i \le e_i \end{matrix}} (f_i+1)\cdots (f_r+1)$$ olur. Her carpan birbirinden bagimsiz oldugundan bunu $$\prod_{i=1}^r\sum_{f_i=0}^{e_i}(f_i+1)$$ olarak yazabiliriz. Dikkat ettiysenin ic toplam $1$'den $e_i+1$'e kadar olan tam sayilarin toplami. Bu nedenle istedigimiz sayi $$\prod_{i=1}^r\frac{(e_i+1)(e_i+2)}{2}$$ olur.

Ornek 3: $n=360=2^33^25$ icin istenilen sayi $$\frac{4\cdot5}{2}\frac{3\cdot4}2\frac{2\cdot3}2=180$$ olur.

Son cikarim: Eger pozitiflik sartini kaldirirsak,
$+++$
$+--$
$-+-$
$--+$
olarak her uclu icin $4$ olasi uclu gelir ve bunun disinda da gelmez. Bu nedenle bu durumda pozitif sartinin $4$ kati kadar uclu elde ederiz.

Comments

elinize sağlık cevap 180

Answer 2

$360 = 6^2.10 = 3^2.2^3.5$ olup

$a = 3^b.2^c.5^d$

$b = 3^f.2^g.5^e$

$c = 3^t.2^s.5^r$ olacak şekilde arıyoruz

$b+f+t = 2$ denkleminin negatif olmayan tamsayılarda çözüm sayısı $C(2+3-1,3-1)$ olup $6$ tanedir.

$c+g+s = 3$ olup $C(3+3-1,3-1) = 10$

$d+e+r = 1$ olup $C(1+3-1,3-1) = 3$ tanedir.

$6.3.10 = 180$

Comments

elinize sağlık cevap 180