Kartezyen çarpım sorusu

Question

A= B^C A×A=B×B^(C×C)  olduğunu gösteriniz

^ : birleşim

Comments

Sorunuz anlaşılmıyor. Ayrıca $\cup$ yazmak için \cup yazıp iki tane $ işareti arasına almanız yeterli.

Answer 1

$A = B \cup C  \implies A \times A = B \times B \cup C \times C$ göstermek istediğimiz şey.
$i.A \times A \subseteq B \times  B \cup  C \times C.$

Soldan bir eleman alalım $(a_1, a_2)$.$A = B \cup C$ olduğundan $a_1 \in B$ veya $a_1 \in C$, aynı şekilde $a_2 \in B$ veya $a_2 \in C$. İkisi birden $B$'de veya $C$'de
ise $A \times A \subseteq B \times  B$ veya $A \times A \subseteq C \times C$, tamamız. Bir tanesi $B$ diğeri $C$'de ise mesela $a_2 \in B, a_1 \in C$ ise, sorun var?!.

Bir örnek alayım, $A = \mathbb{Z}, B= \mathbb{2Z}, C= \mathbb{2Z}+1$ olsun.

$\mathbb{Z} \times  \mathbb{Z} = \mathbb{2Z} \times \mathbb{2Z} \cup  \mathbb{2Z}+1 \times  \mathbb{2Z}+1$ mi acaba?

Sol taraftan $(2,5)$'i alalım. Sağda böyle bir eleman var mı acaba?

Sağdaki elemanlar $m,n \in \mathbb{Z}$ için ya $(2m,2n)$ ya da $(2m+1,2n+1)$  formunda. Bildiğim kadarıyla hem tek hem çift olan bir tamsayı yok, o zaman $(2,5)$ sağda yer almaz; $A = B \cup C  \nRightarrow A \times A = B \times B \cup C \times C$

$A = B \cup C$ için bariz olarak  $B \times B \cup C \times C \subseteq A \times A$. Ne zaman 

$A \times A =B \times B \cup C \times C$ sağlanır ? Gördük ki $B$ ve $C$ ayrıksa sağlanmıyor. Eşitliğin sağlanması için $B \subseteq C$ veya $C \subseteq B$ lazım.