$x.dy-y.dx=(x^2+y^2)dx $ diferansiyel denklemini çözelim

Question

$\frac{y}{x}=v\Rightarrow dv=\frac{x.dy-y.dx}{x^2} $ olarak dönüşüm yapıp $dv=dx+v^2.dx$ denklemini elde ettim ama devamı gelmedi.

Comments

Bir araya toplamamissin.

---

Çok basit hataya gitmişim ya oturup ağlasam mı şu an?

Answer 1

ilk olarak $$x\frac{dy}{dx}-y=y^2+x^2$$ olur. $y=xv$ donusumu uygularsak $$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$$ olur. Yerine yazarsak $$x^2\frac{dv}{dx}=x^2(v^2+1)$$ olur. Daha sonra $$\frac{dv/dx}{v^2+1}-1=0.$$ Daha sonra $$\arctan v-x=c.$$ Daha sonra $$v=\tan(x+c).$$ Daha sonra $$y=x \tan(x+c).$$

Comments

Doğru olan her şeyi yapıp devamını getirememek... Çok teşekkürler hocam :)

---

Peki $x=0$ durumunda ne olur?

---

Bize verilen ilk denklemde de, sonda çıkan denklemde de sorun yok. Bence sıkıntı yok ama emin değilim yine de :)

---

açıklama yapılmayan sorulara lutfen cevap vermeyelım !

---

Soruda aciklama var sn. Anil !!! fakat demek istediginiz tesekkur bab'inda herhalde, sorulara bu sekilde olunca cevap verin nev'inde.

---

That's exactly what I meant

Answer 2

İkinci bir yol olarak da şunu yazabiliriz:

$$xdy-ydx=(x^2+y^2)dx\Rightarrow\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=dx\Rightarrow d\left(\arctan\frac{y}{x}\right)=dx$$

$$\Rightarrow$$

$$\int d\left(\arctan\frac{y}{x}\right)=\int dx$$

$$\Rightarrow$$

$$\arctan\frac{y}{x}=x+c$$

$$\Rightarrow$$

$$y=x\tan(x+c).$$

Comments

Emeğinize sağlık hocam çok teşekkürler :)