Matris fonksiyonları ile ilgili bir ispat

Question

A sabit bir matris olmak üzere, 

$\left( e^{A}\right) ^{-1}=e^{-A}$

olduğunu nasıl gösterebilirim acaba ?

Comments

Lutfn neler denediginizi de sorularinizin icerigine yaziniz. Diger turlu cevaplar ve soru kaldirilabilir. 

---

Teşekkür ederim. Dikkate alacağım.

Answer 1

Eger $AB=BA$ ise $e^{A+B}=e^Ae^B$ dir.

$A$ ve $-A$ komutatif oldugundan (yani $A(-A)=(-A)A=-A^2$)

$e^{A+(-A)}=e^Ae^{-A}$

$e^{0}=e^Ae^{-A}$

$I=e^Ae^{-A}$                         Soldan $\left(e^A\right)^{-1}$ ile carpalim..

$\left(e^A\right)^{-1}=\left(e^A\right)^{-1}e^Ae^{-A}$

$\left(e^A\right)^{-1}=e^{-A}$

Not: $e^A$ herzaman terisinirdir, $A$ nin tersi olsun olmasin..

Comments

Daha buyuk bir ozellik daha kucugu icin kullanilmis. Bence bunu kullaniyorsak ispatini da vermeliyiz. (Ben de buradan cozerim, sonucta daha geneli saglaniyor). 

Ispat icin bir taslak yaparsak: $e^A$, $e^B$ ve $e^{A+B}$ yakinsak. Seri acilimini yazinca $AB=BA$ oldugundan ayni $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ esitligini serilerde nasil ispatliyorsak, burada da oyle ispatlayabiliriz. Birinde $xy=yx$ ve burada $AB=BA$.

---

Çok teşekkür ederim. Çok yardımcı oldunuz.