Hem @Dogukan633'ün hem de @alpercay hocamın sözünü ettiği Pierre de Fermat tarafından sorulan ve Evangelista Toricelli tarafından varlığı kanıtlanan,ve bu sebeple "Fermat-Toricelli" noktası olarak adlandırılan bu noktanın özelliği üçgenin üç köşesine olan uzaklığı toplamı en küçüktür. Böyle bir nokta her üçgen de vardır. Bu nokta açı ölçüleri $120^0$ ve daha küçük olan üçgenlerde iç bölgesinde, aksi durumda üçgenin dışındadır.
Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan bir $ABC$ üçgeninde Fermat-Toricelli noktasının üçgenin köşelerine olan uzaklıkları toplamı : $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt3.A(ABC)}{2}}$ dır. Bir iç noktanın köşelere olan en büyük uzaklığı da üçgenin en uzun iki kenarının kesim noktası olan köşe(nokta üçgensel bölgede düşünülmelidir.) olduğu için en büyük değer de $max\{a+b,a+c,b+c\}$ olacaktır.
Sonuçta istenen toplam $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt3.A(ABC)}{2}}\leq |DA|+|DB|+|DC|\leq max\{a+b,a+c,b+c\}$ olacaktır.
Buna göre sorunun cevabı: $16+20=36$ olmalı.