Question

D2n Dihedral grubunun merkezi nedir?

Comments

Bende arastiriyorum bu konuyu yardımcı olur musunuz?

Answer 1

$D_n = <r, s: r^n = s^2 = e, s r s = r^{−1} >$ şekinde yazilabilir.

Idda :

$Z( {D_n}) = \begin{cases} \{e\} & : n \text { tek} \\ \{ e, r^{n / 2} \} & : n \text { çift } \end{cases}$

Ispat : $Z(D_n)=\{g\in G | gx = xg , \forall x\in D_n \}$ 

$n< 2 \Rightarrow |D_n| \leq 4$ olduğunda $D_n$ değişmeli olur (mertebesi 5 yada 5 ten küçük grupları değişmelidir ;gösterınız ).

demek ki $n<3 \Rightarrow Z(D_n) = D_n$

Şimdi $n\geq 3$ ve $x\in Z(G)$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}  x\in D_n \Rightarrow x = r^is^j ;0\leq i\leq n ,0\leq j\leq 1 \\ \\ x\in Z(G)  \end{array}    \right\}  \Rightarrow xr= rx \\ \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \  \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \  \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \ \ \  \Rightarrow r^is^jr =r^{i+1}s^j \\ \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \  \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \mbox{ } \ \mbox{ } \ \mbox{ } \   \  \  \mbox{ } \ \mbox{ } \   \ \ \ \ \ \ \ \ \  \Rightarrow s^jr =rs^j$.

$j = 1 \Rightarrow rs =(sr = r^{-1}s) \Rightarrow r^2 = e \Rightarrow n =2 \rightarrow\leftarrow$ çünkü $n\leq 2$.

demek ki $j=0$ dolasıyla $x = a^i \in < r > \Rightarrow Z(D_n) \subseteq < r >$ olur.

Not : $s r^k = r^{n - k} s ; \forall k \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ (neden ? gösterınız)

Öte yanda

$$\begin{array}{rcl} x\in Z(D_n) \Rightarrow xs (= r^is)& =&  sx (=sr^i) \\ & = & sr^i  \\ r^is& = & r^{n-1}s \\ \Rightarrow r^i&= & r^{n-1} \\ &= & r^nr^{-i} \end{array}$$

Demek ki $r^{2i} = e \Rightarrow n \text{ \ } 2i .$

$0 \leq i \leq n$ olduğundan $i=0$ yada $n = 2i$

$i =0 \Rightarrow x=r^0=e \Rightarrow Z(D_n) = \{e\}$ olur.

$n = 2i \Rightarrow n ; \text{çift} \Rightarrow x = r^{\frac{n}{2}} \Rightarrow Z(D_n) = < r^{\frac{n}{2}} > = \{ e, r^{\frac{n}{2}} \}.   \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lceil\$\rceil$