Dn=<r,s:rn=s2=e,srs=r−1> şekinde yazilabilir.
Idda :
Z(Dn)={{e}:n tek{e,rn/2}:n çift
Ispat : Z(Dn)={g∈G|gx=xg,∀x∈Dn}
n<2⇒|Dn|≤4 olduğunda Dn değişmeli olur (mertebesi 5 yada 5 ten küçük grupları değişmelidir ;gösterınız ).
demek ki n<3⇒Z(Dn)=Dn
Şimdi n≥3 ve x∈Z(G) olsun.
x∈Dn⇒x=risj;0≤i≤n,0≤j≤1x∈Z(G)}⇒xr=rx ⇒risjr=ri+1sj ⇒sjr=rsj.
j=1⇒rs=(sr=r−1s)⇒r2=e⇒n=2→← çünkü n≤2.
demek ki j=0 dolasıyla x=ai∈<r>⇒Z(Dn)⊆<r> olur.
Not : srk=rn−ks;∀k∈Z≥0 (neden ? gösterınız)
Öte yanda
x∈Z(Dn)⇒xs(=ris)=sx(=sri)=sriris=rn−1s⇒ri=rn−1=rnr−i
Demek ki r2i=e⇒n \ 2i.
0≤i≤n olduğundan i=0 yada n=2i
i=0⇒x=r0=e⇒Z(Dn)={e} olur.
n=2i⇒n;çift⇒x=rn2⇒Z(Dn)=<rn2>={e,rn2}. ⌈$⌉