Noktasal parçacıklar için tanımlanan kütle merkezi (KM) kavramını sürekli maddesel dağılım için genişletirseniz, KM koordinatı $\vec R$ için: $$\vec R=\frac{1}{M}\int_V \rho(\vec r)\vec r dV$$ elde edilir. İki bpyutlu dağılımda bu ifâde: $$\vec R=\frac{1}{M}\int_S \sigma(\vec r)\vec r dS$$ şeklinde girer. Burada $\sigma$ iki boyutlu, yüzeysel kütle dağılımı fonksiyonudur.
Sizin sunduğunuz problemde levha homojen olduğundan, yoğunluk fonksiyonu $\sigma(\vec r)=\sigma_0=\mbox{sabit}$ şeklinde alınmalıdır. O hâlde integral, $$\vec R=\frac{\sigma_0}{M}\int_S \vec r dS$$ şekline bürünür. $A$ levhanın toplam alanı olmakla berâber, $\frac{\sigma_0}{M}=\frac{M}{AM}=\frac{\sigma_0}{M}=\frac{1}{A}$ yazılabilir. Bu kenarda dursun. Belki lâzım olur, belki olmaz...
Sistemin geometrisi kartezyen koordinatlara müsâiddir. Bunun yanında, levhanın yattığı düzlemi $x\circ y$ düzlemi olarak alırsak, $dS=dxdy$ olacaktır.Bunları yerine korsak, $$x=\frac{1}{A}\int_S x dxdy=\frac{1}{A}\int_{\mbox{min}\{y_1, y_2\}}\int_{x_{13}(y)}^{x_{23}(y)} x dxdy$$ $$y=\frac{1}{A}\int_S y dxdy=\frac{1}{A}\int_{\mbox{min}\{y_1, y_2\}}\int_{x_{13}(y)}^{x_{23}(y)} y dxdy$$ integralleri alınır. Bu ifâdelerde meselâ $x_{13}$, $x_1$ ile $x_3$ koordinatlarına sâhip doğrunun denklemini $y$'nin fonksiyonu olarak gösteren fonksiyondur. $\mbox{min}$'den kurtulmak için de genelliği bozmadan $y_1<y_2$ veyâ tersi alınabilir; veyâ olduğu gibi bırakılabilir de, zîrâ bu ifâde sâbit bir sayıdır sâdece. Şimdi, sınırları tesbît ettikten sonra işlemler biraz hassâsiyet gerektiriyor ama prensipte bundan başka birşey yok!