II. Dereceden Eşitsizlikler

Question

$-x^2+6x+m-1<0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $R-(n)$ (n, küme parantezinde) ise $m.n$ çarpımı kaçtır?

Denkleme $f(x)$ dersek $f(n)$'in bu denklemi $0$'a eşitleyen çift katlı kök olduğunu gördüm.Bundan sonra bu denklemi $(x-n)^2$ denklemine eşitledim ama sonucu bulamadım.

Comments

Verilen eşitsizliğin sağlanması için $x^2$ 'nin kat sayısı ve diskriminant negatif olmalıdır. Birincisi sağlandığından ikincisi sağlanmalıdır. 

$\Delta=36-4(-1)(m-1)<0\Rightarrow m<-8$ olur. Böyle olunca  çözüm kümesi $R-[-8,\infty)$ olur. Bu durum da $m.n=(-\infty,-8).[-8,\infty)$ gibi bir şey oluyor!

---

Yardımınız için teşekkürler Mehmet hocam, aynı şekilde

bunun tablosunda $n$ çift katlı kök ise buna $(x-n)^2$ demek yanlış olur mu? Öyle ise eşitlediğimizde sonucun gelmesi gerekmez mi ?

---

$n$'nin çift kat kök olduğunu nasıl bulduk? Eşitsizlik denklemin reel kökü olmadığını söylemiyor mu? Ayrıca cevap kaç verilmiş?

---

cevap -24 verilmiş hocam.

çift kat kök mevzusuna gelirsek: Bu denklemin $n$ diye bir kökü var ve yalnız ve yalnız bu kökte eşitsizlik sağlanmıyor.Burada 0'a eşitlik yok, yani bunun fonksiyonu sadece $n$'de $0$'a çarpıyor sonra geri yukarı dönüyor. Çözüm kümesinin R-{n} olması da tek kökün n olduğunu gösteriyor, çünkü eşitlik yok ve başka bir kök olsaydı onu da çözüm kümesini gösterirken çıkartmak zorunda kalırdık.Buradan çift katlı kök olduğunu çıkardım.

---

Hocam, ayrıca ''Verilen eşitsizliğin sağlanması için $x^2$'nin kat sayısı ve diskriminant negatif olmalıdır'' yazmışsınız, fakat bu denklem daima sağlanmıyor ki (n değeri mesela.)Sizin dediğiniz durum ÇK=R olduğunda geçerli değil midir? saygılar

---

Şimdi çıkmam lazım dönünce düşünürüz.

Answer 1

Cift katli koku oldugundan kok, yani $n=3$ olmali. (<- Kokler toplamindan) Bu da bize $$-(x-3)^2=-x^2+6x-9$$ denkleminden $m-1=-9$ oldugunu verir.

Comments

Kökler toplamından bunu nasıl buldunuz hocam, o kısmı tam anlayamadım.

---

kokler toplami $n+n$ degil mi? Bu da $6$ oluyor, $x$'in katsayisindan...

---

Sağolun hocam, Çift katlı kök olunca kökler toplamında $2$ adet aynı sayıyı aldığımızı bilmiyordum,öğrenmiş oldum.Teşekkürler.