II. Dereceden Eşitsizlikler

Question

$2x^2+ax+b \geq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $R-(-1,3/2)$ olduğuna göre $a+b$ toplamı kaçtır?

Ben tablo çizdim ve tabloya bakarak,

$(-1,3/2)$ aralığındaki tüm sayıların bu eşitsizliğe uymadığını ve,

$-1$ ve $3/2$ sayılarının bu eşitsizliği $0$ durumuna getirdiğini gördüm.

Yerlerine koyduktan sonra değeri $-2$ buldum fakat cevap $-4$'müş.Nerede yanlış yaptığımı da bulamadım.

Comments

Denklemin kökleri $x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4.2.b}}{4}$ olduğundan eşitsizliğin sağlanmadığı aralık $(-1,\frac 32)=(x_1,x_2)\Rightarrow x_1=-1,x_2=\frac 32$ olmalıdır. Dolayısıyla $\frac{-a-\sqrt{a^2-4.2.b}}{4}=-1\Rightarrow -4-a=\sqrt{a^2-8.b}\Rightarrow a-b=2$ bulunur. Benzer olarak 

$\frac 32=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4.2.b}}{4}\Rightarrow 6+a=\sqrt{a^2-8.b}\Rightarrow 3a+2b=-9$ bulunur. Bu iki denklemin çözümünden $a=-1,b=-3\quad a+b=-4$ bulunur.

---

Sağolun Mehmet hocam.

---

Önemli değil. Kolay gelsin. Bir ricam var. Çözümü cevap kısmına kendi tarzında yazar mısın.

Answer 1

$(-1,3/2)$ aralığındaki sayılar bu eşitsizliği sağlamıyor ise; $-1,3/2$ bu denklemin kökleridir yani bunun grafiğinde $-1$'e gelince ve $3/2$'ye gelince fonksiyonun değeri $0$ olmuştur.

O zaman iki eşitlik yazalım ve ikisinde de $0$'a eşitleyelim.

$x=-1$ olmak üzere;

$2-a+b=0$,

$a-b=2$ olur.

-----

$x=3/2$ olmak üzere;

$2.(9/4)+(3a/2)+b=0$,

$9/2+(3a/2)+b=0$,

$(3a/2)+b=-9/2$ olur ve bunu da $2$ ile çarpıp kesirden kurtarırsak

$3a+2b=-9$ olur.Şimdi elimizdeki $a$ ve $b$'ye bağlı iki denklem var.Bunları ortak çözersek.

-----

$2(a-b)=2.2$

$3a+2b=-9$

$+$______________

$5a=-5 ,a=-1$ ve $-3+2b=-9,b=-3$ olur.

Sonuç olarak $a+b=-4$ olur.

Answer 2

Demek ki kokleri $-1$ ve $3/2$ olmaliymis. Bu da bize ikinci dereceden polinomun

$$2(x+1)(x-3/2)=2x^2-x-3$$ oldugunu verir.