Question

A={1,2,3} olmak üzere S(A) grubunun ab=bc olmasına rağmen $a\neq c$ olan a, b elemenları? bu tarz birkaç soruya rastladım da nasıl bir yol izlemeliyim?

Comments

$(12)(13)=(13)(23)$ olmasına rağmen $S(A)$'da $(12)\neq (13)$. Genel bir yöntem var mıdır bilmiyorum. 

Answer 1

Rastgele $a,b$ elemanları alarak mı başlıyoruz anlayamadım tam, anladığım gibi yazıyorum:

$G$ bir grup ve $a,c$, $G$'nin herhangi iki elemanı olsun.
Diyelim ki bir $b$ elemanı için $ab=bc \implies a=c$ sağlansın. O zaman 
$b^{-1}ab=c=a$ olurdu yani $ab=ba$ elde ederdik. Tüm bu $b$ elemanları bizim grubun merkezinin elemanlarıdır:
$Z(G)=\{x \in G| xg = gx\quad \forall g \in G\}$
Yani bize lazım olan $b$ elemanları merkez dışından olmalıdır. Bu mantıkla $Z(S_3)={1}$, yani birim dışındaki her eleman bize bir $b$ elemanı verir.