$0$ ile $0$ aralarında asal mıdır?

Question

yada her doğal sayı aralarında asal iki doğal sayının toplamı seklinde yazılabilir mi?

Comments

Hangisini soruyorsunuz? Baslik ile icerik farkli sorular...

---

Sanırım ilk sorunuz matkafasın'daki.Aslında güzel bir şey böyle sorular sormanız. Bir anımı anlatmak isterim . İlk okul 3. sınıfta sanırım (Tam hatırlamıyorum) bir gün (daha o zamanlar pisagor teoremi nedir bilmiyorum )  $3^2 + 4^2 =5^2 $ 'i buldum deyip matematik hocasına gittiğimde bana verdiği tek tepki (Link) buydu. Sordugun sorunun konusunu biraz irdelersen şununla karşılaşırsın;

$a$ ve $b$ ($a$,$b$ $\in $ $ \mathbb{Z}$)  

Eğer $a$,$b$ nin sadece $1$'den başka böleni yoksa $a$ ,$b$ aralarında asaldır.Yani ; $Ebob(a,b)=1 $ ise $a$,$b$ aralarında asaldır.

Aslında burda sorularacak güzel bir soru var. Oda şu şekilde ;

$Ebob(0,0)=?$ 

 $Ebob(0,0)=0$ $(\ 0^?)$

Ancak bu da aralarında asal olmadıgını gösterir.

---

Sayın ra, "sadece 1'den başka böleni yoksa yerine" $1$'den başka tam sayı böleni yoksa denilmeli. Ayrıca da $EBOB(0,0)=0 $ eşitliği doğru değildir. Ama $OBEB(0,0)=1,2,3,...$ denebilir.

---

$ebob(0,0)=0$ esitligi neden dogru degil ki? Hem $=1,2,3,\cdots$ iyi tanimli olmaz.

---

Hocam $0|0$ (sıfır sıfırı böler) doğru mu?

---

Dogru. Eger $b=a\cdot k$ olacak sekilde bir $k$ tam sayisi bulabilirsek, $a$ tam sayisi $b$ tam sayisini boler deriz ve $a \mid b$ ile gosteririz. 

Sav: $0 \mid 0$.
Ispat: $0=0\cdot 1$ oldugundan $0 \mid 0$.
 

---

Bu durumun iyi tanımlılıkla nasıl bi ilgisi var?

---

O zaman $0|0$ ama bölüm belirsiz olduğundan mı $\frac 00$ belirsiz diyoruz. Ayrıca $0$ her tam sayıyı tam böler diyebilir miyiz?.

---

@hulya, $a=1$ ve $a=2$ dersek $a$'yi iyi tanimlamamis oluruz. Bu nedenle $ebob(0,0)=1,2,3,\cdots$ iyi tanimli olmaz.

Mehmet hocam, sifir sadece sifiri boler fakat her tam sayi sifiri boler. $a\ne 0$ olunca $b/a$ biricik sekilde tanimlanir. Bu tanim(deger) da yanina ilistirdigimiz $k$ degeri. Fakat $0/0$ icin $k$ birden fazla deger aliyor. Boler demek icin $k$ degerinin biricik olmasina gerek yok. Fakat $(a,b) ;= a/b \to k$ fonksiyonu tanimlayacaksak $k$ degeri biricik olmali ya da biricik kilacak bir secim yapmaliyiz.

---

Fonksiyon için iyi tanımlılık şart biliyorum.Fakat bu iyi tanımlılığı sağlarken seçtiğin biricik $k$ değerini gerçekte sonsuz çokluktaki değer arasından neye göre seçiyorsun.

$(0,0)=0$ dersen bu ebobun mantığına ne kadar uyar?Sonuçta en büyük ortak böleni arıyoruz.Sonsuza giderken herhangi bir değer bulabiliriz.

Mesela $(0,7)=7$ diyebiliyoruz çünkü  7 gibi bir sınırlama var ama $(0,0)$ için böyle bir şey söyleyemeyiz.

---

En buyukten anladigimiz tam olarak ne olmali peki?  Mesela $5$ sayisi $25$'e tam bolunmez fakat sifir bolunur. Sifir her tam sayiya tam bolunur. Sifir'i bu baglamda kucuk kilan nedir?

---

Sıfırın her tam sayıyı bölmesi sence bir büyüklük göstergesi mi?

En Büyüklükten kastettiğim şey şu: $(0,0)=$bu sonuca hangi sayıyı yazarsam yazıyım her defasında +1 ekleyerek yeni bir sonuç elde edebilirim.Bu da beni bir noktadan sonra sonsuz kavramına götürür.Yani belirsizlik söz konusu..

---

Evet oyle. $p$-sel degerlendirmelere gore degeri en buyuk olan sifir. Hem en buyuk boleni bulurken $p$-sel degerlendirmesi buyuk olanlari secmiyor muyuz?

$p_i^{e_i}$   $a$ ve $b$'yi tam boluyorsa $p_i^{e_i+1}$  tam bolmuyorsa en buyuk ortak bolende gozuken $p_i^{e_i}$ degil mi?  ($p_i^{\infty} =0$)

($d$ ebob olsun) $d=ax+by$ olarak yazilabilir. ($x,y \in \mathbb Z$). $0x+0y=0$ her kosulda sifir oluyor. Bu da $d$ icin tek secenegin $0$ oldugunu vermez mi?

---

p-sel değerlendirme kavramını bilmiyorum,biraz açar mısın?

Olaya $d=ax+by$  den $0x+0y=0$ den bakarsak mantıklı geliyor ama öklid algoritması düşündüğümüzde 0 için bunu uygulayabilir miyiz? şüpheli.Çünkü teoremde 0 hariç tutulmuş.

Konuyu irdeledikçe aklıma başka sorular takıldı?

[0,0] hakkında ne düşünüyorsun? ve Negatif sayılarda obeb bulunabilir mi?

---

Sayın Mehmet Diyelim ki sizin dediğiniz gibi kabul edelim yani ;

$Ebob(0,0)=d $ $(d :  1,2,3,...)$ Öklit algoritmasına sonuucu olarak şunu yazabilirim. 

$ax+by=d $ olacak şekilde $x,y$ tamsayısı vardır .  Ancak $0x+0y=d$ sanırım $x$ ve $y $ bulamadık? 

---

Sercan hocam, eğer $a,b\in Z$ için $a|b$ ise $a\neq0$ olması ve tanımdan dolayı $obeb(a,b)>0$ olması gerekmez mi?  Daha fazla bilgi için Prof.Dr.Halil İbrahim Karakaş hocanın sayılarla ilgili videosu incelenebilir. 

Dolayısıyla $0|0$ doğru olmamaktadır. Belkide $ebob(0,0)$ anlamlı değil ya da belirsizdir.

@ra'nın belirtiği  $obeb(0,0)=0$ eşitliği de $obeb(a,b)>0$ olması gerektiğinden doğru olamaz Var sayalım doğrudur. O zaman $0.x+0.y=0$ diyofant denkleminin [ $ax+by= obeb(a,b)$ koşulunu sağlayan $(x_0,y_0)$ şeklindeki tam sayı çözümlerinin sayısı $obeb(a,b)$ kadar olduğundan] çözüm sayısı $0$ olmalıdır. Oysa bu denkleminin sonsuz sayıda çözümü vardır.

---

$0\mid 0$ nasil dogru olmamaktadir?  (Yukarida verdigim) Tanimindan dolayi dogrudur. Her tam sayi $0$ tam sayisini tam boler.


$a\mid b$ ile $b/a$ arasinda fark var. $a\ne 0$ oldugunda $b=ak$ icin biricik $k$ tam sayisi secenegi vardir. $a=0$ oldugunda her $k$ tam sayisi icin $0=0\cdot k$ olur. Bu da iyi tanimli yapmaz. Yukarida bundan da bahsetmisim hatta.

Sifir sadece sifiri bolebilir fakat $k$ degeri biricik degildir.