Sav 1: $a$ herhangi bir gercel sayi olsun. Bu durumda $$-a+(a+2)=2$$ olur.
Ispat: Gercel sayilarda toplama "associative" (yani cevirisi birlesmeli) oldugundna toplamanin sirasini degistirebiliriz. $$-a+(a-2)=(-a+a)+2$$ olur. (Gerek olmasa da) Toplama ayni zamanda degismeli oldugundan $$-a+(a-2)=(-a+a)+2=(a+(-a))+2$$ olur. $-a$ sayisi $a$ sayisinin toplamaya gore tersi oldugundan ve toplamaya gore birim eleman $0$ oldugundan $$a+(-a)=(-a)+a=0$$ olur. Bu nedenle $$-a+(a-2)=(-a+a)+2=(a+(-a))+2=0+2=2$$ olur.
Cikarim 1: $n$ herhangi bir tam sayi olsun. Bu durumda $$-n+(n+2)=2$$ olur.
Ispat: $n$ tam sayisi ayni zamanda gercel bir sayi oldugundan "Sav 1" ile bu sonucu cikartiriz.
Cikarim 2: $n$ tam sayisi bir $k$ tam sayisi icin $4k-2$ sayisina esit olsun. Bu durumda $$-n+(n+2)=2$$ olur.
Ispat: $k$ tam sayi olmak uzere $4k-2$ de tam sayi olacagindan (ve gercel sayi olacagindan) "Cikarim 1"den (ya da "Sav 1"den) dolayi bu cikarim dogru olur.
Anahtar Cikarim: $$\{2,6,10,\cdots,98\}=\{4k-2 \: |\: 1\le k \le 25, k \in \mathbb Z\}$$ kumesinde ki her $n$ elemani icin $$-n+(n+2)=2$$ olur.
Ispat: Bu kumenin elemanlari "Cikarim 2"deki formda oldugundan sonuc dogru olur.
_____________
1) $\{1,2,\cdots,25\}$ kumesi $25$ elemanlidir.
2) $k \ne l$ gercel sayilari icin $4k-2\ne 4l-2$ saglanir.
Ispat: $k \ne l$ gercel sayilari icin $4k-2= 4l-2$ saglansaydi. $(4k-2)+2=(4l-2)+2$ olurdu, yani $4k=4l$ olurdu. Bu durumda $\frac144k=\frac144l$, yani $k=l$ olurdu. Fakat esit olmadiklarini kabul etmistik. Celiski.
3) $\{2,6,10,\cdots,98\}$ kumesi $25$ elemanlidir. (1 ve 2'den dolayi).
_________
Simdi bu kadar gereksiz yazidan sonra sunu deriz.
$$[-2+4]=[-2+(2+2)]=2$$$$[-6+8]=[-6+(6+2)]=2$$$$\vdots$$$$[-98+100]=[-98+(98+2)]=2$$ olur. Bu $25$ tane esitligi taraf tarafa toplarsak (toplama birlesmeli oldugundan) sol taraf istenen toplam ve sag taraf da $25$ tane $2$ sayisinin toplami olur, bu da $25\cdot 2=50$ olur.