Question

$-2 +4 -6 +8 + ....... -98 +100$ işleminin sonucu kaçtır?

Comments

Neler düşündünüz, denediniz de çözüme ulaşamadınız? Site kuralları gereği paylaşırsanız seviniriz

---

-2 +4 = 2 bunun gibi toplam 25 işlemin olduğunu sonucunun 50 olduğunu düşünüyorum. Ancak oğlum okulda öğretmenine sormuş sonucun 100 olduğu cevabını almış. bu işlem bir formülle yapılabiliyorsa eğer o şekilde açıklayabilirseniz sevinirim.

---

Dogru dusunmussunuz. Ogretmenler de bazen dalgin olup hata yapabilirler. 

Kontrol amacli buraya toplami da yazdim, sonuc $50$. link

---

Teşekkürler yanıt için. 

Bunun cevabı bir formül yardımıyla gösterilebiliyor mu? 

İşlemlerin nasıl yapıldığını gösterebilir misiniz? 

Test kitabında cevap anahtarında da 100 olarak görünüyor. 

Ben bunun cevabının 50 olduğunu oğluma delil göstererek ispat etmek istiyorum. 

Yardımcı olabilirseniz sevinirim. 

Answer 1

Sav 1: $a$ herhangi bir gercel sayi olsun. Bu durumda   $$-a+(a+2)=2$$ olur.

Ispat: Gercel sayilarda toplama "associative" (yani cevirisi birlesmeli) oldugundna toplamanin sirasini degistirebiliriz. $$-a+(a-2)=(-a+a)+2$$ olur. (Gerek olmasa da) Toplama ayni zamanda degismeli oldugundan $$-a+(a-2)=(-a+a)+2=(a+(-a))+2$$ olur. $-a$ sayisi $a$ sayisinin toplamaya gore tersi oldugundan ve toplamaya gore birim eleman $0$ oldugundan $$a+(-a)=(-a)+a=0$$ olur. Bu nedenle   $$-a+(a-2)=(-a+a)+2=(a+(-a))+2=0+2=2$$ olur.

Cikarim 1: $n$ herhangi bir tam sayi olsun. Bu durumda   $$-n+(n+2)=2$$ olur.

Ispat: $n$ tam sayisi ayni zamanda gercel bir sayi oldugundan "Sav 1" ile bu sonucu cikartiriz.

Cikarim 2: $n$ tam sayisi bir $k$ tam sayisi icin $4k-2$ sayisina esit olsun. Bu durumda $$-n+(n+2)=2$$ olur.

Ispat: $k$ tam sayi olmak uzere $4k-2$ de tam sayi olacagindan (ve gercel sayi olacagindan) "Cikarim 1"den (ya da "Sav 1"den) dolayi bu cikarim dogru olur.

Anahtar Cikarim: $$\{2,6,10,\cdots,98\}=\{4k-2 \: |\: 1\le k \le 25, k \in \mathbb Z\}$$ kumesinde ki her $n$ elemani icin $$-n+(n+2)=2$$ olur.

Ispat: Bu kumenin elemanlari "Cikarim 2"deki formda oldugundan sonuc dogru olur.

_____________
1) $\{1,2,\cdots,25\}$ kumesi $25$ elemanlidir.

2) $k \ne l$ gercel sayilari icin $4k-2\ne 4l-2$ saglanir. 

Ispat:  $k \ne l$ gercel sayilari icin $4k-2= 4l-2$ saglansaydi. $(4k-2)+2=(4l-2)+2$ olurdu, yani $4k=4l$ olurdu. Bu durumda $\frac144k=\frac144l$, yani $k=l$ olurdu. Fakat esit olmadiklarini kabul etmistik. Celiski.

3) $\{2,6,10,\cdots,98\}$ kumesi $25$ elemanlidir. (1 ve 2'den dolayi).
_________

Simdi bu kadar gereksiz yazidan sonra sunu deriz.
$$[-2+4]=[-2+(2+2)]=2$$ $$[-6+8]=[-6+(6+2)]=2$$ $$\vdots$$ $$[-98+100]=[-98+(98+2)]=2$$ olur. Bu $25$ tane esitligi taraf tarafa toplarsak (toplama birlesmeli oldugundan) sol taraf istenen toplam ve sag taraf da $25$ tane $2$ sayisinin toplami olur, bu da $25\cdot 2=50$ olur.

Comments

Çok teşekkür ederim. Uğraştınız emek harcadınız. Bu soru ortaokul öğrencisi için biraz fazla karmaşık değil mi? Ne dersiniz.

---

Bence degil. Son kismakadar maksat siz istediginizi cekip alin, ne anlatacaginiz hissedin diye yazdim. Ne kadar bilgi, o kadar hissederek anlatama.

Yapmaniz gereken sadece iki adet ve anlatmaniz gerek iki adet basit gorulebilecek kavram var:

1) $\{2,6,10,\cdots,98\}$ kumesi $25$ elemanli.
2) Toplami bu $25$ tane elemana denk gelen $(-2+4),(6+8), \cdots, (-98+100)$ ile yazdiginiz belirtmek ve bunlarin hepsinin $2$'ye esit oldugu.

Tabi insanlar genelde test kitaplarinin ya da hocalarinin dedigine koru korune inanmayi tercih ediyor. Geneli kendi bulduklarindan emin olmaz ve farkli sonuc veren cevabi dogru olsa da kabul etmez. Bu ogrencilerde cok var. Bunu kirmak lazim. Bunu kabul etmezse ogrenci, siz istediginiz kadar ikna etmeye calisin, yine icinde bir ukte kalir.