Ebob-ekok

Question

OKEK(a,b)+OBEB(a,b)=a+b+6

Eşitliğini sağlayan kaç tane (a,b) pozitif tamsayi ikilisi vardir?

Answer 1

1) Eğer $a=b$ ise $OKEK(a,b)=a=b,\quad OBEB(a,b)=a=b$ olacağından, 

$OKEK(a,b)+ OBEB(a,b)=a+b+6\Rightarrow a+a=a+a+6$ olduğundan koşul sağlanmaz.

2) Eğer $a$ ile $b$ sayıları aralarında asal ise,bu durumda $OKEK(a,b)=a.b,\quad OBEB(a,b)=1$ olur. Dolayısıyla verilen eşitlik:$a.b+1=a+b+6\Rightarrow a=\frac{b+5}{b+1}=1+\frac{4}{b+1}$ olur. Buradan $(a=3,b=1),(a=2,b=3)$ çiftleri bulunur. Her iki sıralı çiftte eşitliği sağlamaz.

3)Eğer $a=k.b$ ise o zaman $OKEK(a,b)=a,\quad OBEB(a,b)=b$ olur ve verilen eşitlik te 

$a+b=a+b+6$ olur ki bu durumda da sağlanmaz.

4) Eğer,$a,b$ sayılarından biri diğerinin bir tam katı olmamak üzere, $OBEB(a,b)=x,\quad OKEK(a,b)=y$    ise $a=x.a_1\quad b=x.b_1,\quad  OBEB(a_1,b_1)=1$ ve $a_1,b_1\in N^+$ dir. Ayrıca $y=a.a_2,\quad y=b.b_2$ olsun. Yine $a_2,b_2\in N^+$ dir. 

O zaman $x+y=a+b+6\Rightarrow x+x.a_1.a_2=x.a_1+x.b_1+6$

$1+a_1.b_1=a_1+b_1+\frac 6x \Rightarrow x=1,2,3,6$ olmalıdır. $x=1$ durumunda sayılar aralarında asal olur.Bu yukarıda incelendi.

$x=2$ için $a_1.b_1=a_1+b_1+3\Rightarrow a_1=1+\frac{4}{b_1-1}\Rightarrow (a_1=5,b_1=2),(a_1=3,b_1=3),(a_1=2,b_1=5)$ olur. Bunlara karşılık $(a=10,b=4),(a=6,b=6),(a=4,b=10)$ değerleri bulunur. Ancak bunlar eşitliği sağlamaz.

$x=3$ ise gereken değerler yerine yazıldığında $a_1=1+\frac{2}{b_1-1}\Rightarrow (a_1=3,b_1=2),(a_1=2,b_1=3)$ olur.Bunlara karşılık $(a=9,b=6),(a=6,b=9)$ olur. Bunlarda sağlar.

$x=6$ için $a_1=\frac{b_1}{b_1-1}$ burdan çözüm gelmez. Demek ki verilen eşitliği sağlayan iki pozitif tam sayı ikilisi vardır:$(9,6),(6,9)$ dır.

Answer 2

Bende farklı bir çözüm yapayım görmüşken.

$OBEB (a,b) = m$

$a = m.k$

$b = m.l$

$OBEB(k,l) = 1$

$OKEK(a,b) = m.k.l$

$m + m.k.l = m.k + m.l + 6$

$m(kl-k-l+1) = 6$

$m((k-1)(l-1))=6$

Burada değerler denenirse sadece m = 3 için

$(k-1)(l-1)=2$

k = 3 l = 2 m = 3

$a=9$

$b=6$

ve

k = 2 l = 3 m =3 için

$a =6$

$b=9$

olup 2 tane ikili bulunur.