Question

En az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 57 olan bir kümenin en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Answer 1

Bu kümenin eleman sayısı $n$ olsun. O zaman en az iki elemanlı alt kümelerinin sayısı :$C(n,2)+C(n,3)+...+C(n,n)$ dir. Yani $C(n,2)+C(n,3)+...+C(n,n)=57$ dir. Öte yandan tüm alt kümelerinin sayısı:$C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...+C(n,n)=2^n$ olduğundan,  $C(n,0)+C(n,1)+57=2^n\Rightarrow 1+n+57=2^n\Rightarrow n=6$ olmalıdır. Bizden en çok $5$ elemanlı alt küme sayısı istenmiştir. Yani $C(6,0)+C(6,1)+C(6,2)+...+C(6,5)=istenen$    dir. 

$C(6,0)+C(6,1)+C(6,2)+...+C(6,5)+C(6,6)=istenen+C(6,6)\Rightarrow 2^6-1=63=istenen$ olur.