icerinde $n$ tane $2$ olan $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots+\sqrt2}}}$ sayisinin degeri

Question

icerinde $n$ tane $2$ olan $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots+\sqrt2}}}$ sayisi $2\cos\frac\pi{2^{n+1}}$ sayisina esit midir? Esit ise ispatlayiniz, degilse saglamayan bir $n$ degeri bulunuz.

Comments

Sanıyorum $k$ yerinde $n$ olmalı.

---

Evet hocam, oyle. Duzenledim. Tesekkurler.

---

• link
  
• link
  

 

Bu iki linkten de farklı bir bakış açısıyla bakabilirsin .

Ayrıca What is Mathematics adlı güzel bir pdf'in  (p.120 s.2)  bakabilirsin. 

---

ilk verdigin linkteki sorudan yola cikarak bunu sormustum. Bu bilgili artik istenilen limitin $\pi$ oldugunu rahatcana ispatlayabiliriz.

---

Tamam eşitliği ispatlamak güzel ama neden böyle bir eşitlik var nereden gelmış?

Answer 1

$n\geq1$ için tümevarım tercih edeceğim.

1)$n=1$ için $\sqrt2=2cos(\frac{\pi}{4})=2\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt 2$ olup doğrudur.

2)$n=k$ için  $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}}}_{\text{k tane 2}}=2.cos(\frac{\pi}{2^{k+1}})$ eşitliğinin doğru olduğunu varsayalım.

3)$n=k+1$ için  $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}}}_{\text{k+1 tane 2}}=2.cos(\frac{\pi}{2^{k+2}})$ eşitliğinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

Doğru olan   $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}}}_{\text{k tane 2}}=2.cos(\frac{\pi}{2^{k+1}})$  eşitliğinin iki tarafına $2$ ekleyip karekökünü alalım. Böylece sol taraf;

$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt2}}}}_{\text{k+1 tane 2}}=\sqrt{2+2cos(\frac{\pi}{2^{k+1}})}=\sqrt{2(1+cos(\frac{\pi}{2^{k+1}})})$

$= \sqrt{2(cos0+cos(\frac{\pi}{2^{k+1}})})$

$=\sqrt{4(cos(\frac{0+\frac{\pi}{2^{k+1}}}{2})(cos(\frac{0-\frac{\pi}{2^{k+1}}}{2}})$ 

$=\sqrt{4.cos^2(\frac{\pi}{2^{k+2}}})=2cos(\frac{\pi}{2^{k+2}})$ olur. O halde verilen eşitlik doğrudur.

 

Comments

$1+\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)$ oldugu da kullanilabilir, son kismlarda.

---

Evet. Nedense ben daha uzun olan yolu tercih etmişim.